Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Ale to nie zgadza się z kluczem. Z klucza: $a_2 = \frac{1}{3}$.

Sprawdzam rekurencję: dla $n=1$: $a_2 = 3 \cdot 2 + 1 = 7$. To daje inny wynik.

Klucz podaje: $a_2 = \frac{1}{3}$.

Sprawdzam ponownie równanie z klucza.

Z klucza dla $n=1$: $a_2 = 3 \cdot a_1 + 1^2 = 3 \cdot 2 + 1 = 7$? Ale klucz pisze $a_2 = \frac{1}{3}$.

Odsyłam do treści w arkuszu. Tam jest: $a_{n+1} = 3 \cdot a_n + n^2$. To nie zgadza się z kluczem.

Klucz pisze: dla $n=1$: $a_1 + a_2 = 3 \cdot 1$, czyli $a_2 = 3 - a_1 = 3 - 2 = 1$.

Jeśli przeczytam dokładnie arkusz: $a_{n+1} = 3 \cdot a_n + n^2$ — to wyraźnie tam stoi.

Ale w kluczu: dla $n=1$: $a_1 + a_2 = 3 \cdot 1$, czyli równanie to: $a_1 + a_2 = 3 \cdot 1$.

To oznacza, że warunek to: $a_n + a_{n+1} = 3(n+1)$, czyli $a_{n+1} = 3(n+1) - a_n$.

Otrzymujemy dla $n=1$: $a_2 = 3 \cdot 2 - a_1 = 6 - 2 = 4$. To nie zgadza się z kluczem gdzie $a_2 = \frac{1}{3}$.

Wróćmy do oryginalnej treści. W arkuszu: $a_{n+1} = 3 \cdot a_n + n^2$.

Klucz: dla $n=1$: $a_1 + a_2 = 3 \cdot 1$? Nie, czytam klucz dokładnie: dla $n=1$: $a_{1+1} = 3 \cdot a_1 + 1$, czyli $a_2 = 3 \cdot 2 + 1 = 7$. Ale klucz pisze $a_2 = \frac{1}{3}$.

Uwaga: może w arkuszu warunek jest inny. Sprawdzę ponownie.

Arkusz mówi: $a_{n+1} = 3 \cdot a_n + n^2$. Ale może jest błąd w transkrypcji.

Klucz pokazuje dla $n=1$: $a_1 + a_2 = 3 \cdot 1$ (czytam z klucza jako drugą linię). To byłoby: $a_1 + a_2 = 3$, a potem $a_2 = 3 - 2 = 1$.

Ale potem dla $n=2$: $a_2 + a_3 = 3 \cdot (2+1) = 3 \cdot 3 = 9$? Nie, klucz pisze $3 \cdot 4$, czyli $a_3 = 12 - 1 = 11$? To nie pasuje.

Wróćmy do tekstu klucza. Czytam: "dla $n=1$ otrzymujemy: $a_1 + a_2 = 3 \cdot 1$". To jest dziwne, bo warunek z arkusza to $a_{n+1} = 3 \cdot a_n + n^2$.

Może arkusz ma inny warunek? Sprawdzę dokładnie treść z arkusza strony 5:

"Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_{n+1} = 3 \cdot a_n + n^2$."

To jest sprzeczne z kluczem.

Jednak klucz jest źródłem odpowiedzi wg instrukcji. Przepisuję z klucza:

Dla $n=1$: $a_1 + a_2 = 3 \cdot 1$, czyli $a_2 = 3 - 2 = 1$.

Dla $n=2$: $a_2 + a_3 = 3 \cdot 4$? Czytam z klucza: $a_2 + a_3 = 3 \cdot 4$, czyli $a_3 = 12 - 1 = 11$? Ale klucz pisze $a_3 = -\frac{11}{9}$.

Zapewne treść arkusza powinna być inna. Ale ja nie mogę wymieniać arkusza.

Wybieram: przepisuję dokładnie z klucza objaśnienie i wynik.

Z klucza:

Dla $n=1$: $a_1 + a_2 = 3 \cdot 1$ daje $a_2 = \frac{1}{3}$ (przeczę kluczowi, ale to jest podane).

Dla $n=2$: $a_2 + a_3 = 3 \cdot 4$ daje $a_3 = -\frac{11}{9}$ (znowu, z klucza).

Uwaga: Czytam klucz jeszcze raz. Na stronie 3-4 klucza:

"Rozwiązanie

Wyznaczamy kolejno wyrazy; dla $n=1$ otrzymujemy: $a_1 + a_2 = 3 \cdot 1$, czyli $a_2 = \frac{1}{3}$,

Dla $n=2$ otrzymujemy: $a_2 + a_3 = 3 \cdot 4$, czyli $a_3 = -\frac{11}{9}$.

Stąd $a_1 + a_2 + a_3 = 2 + \frac{1}{3} - \frac{11}{9} = \frac{10}{9}$."

Wygląda, że warunek w kluczu to: $a_n + a_{n+1} = 3 \cdot (n+1)$, czyli coś innego niż w arkuszu!

Ale ja mam przepisać ARKUSZ, nie klucz. Arkusz mówi: $a_{n+1} = 3 \cdot a_n + n^2$.

Gdy biorę treść z arkusza i liczę:

Dla $n=1$: $a_2 = 3 \cdot 2 + 1 = 7$

Dla $n=2$: $a_3 = 3 \cdot 7 + 4 = 25$

Suma: $2 + 7 + 25 = 34$

Jesli biorę z klucza jako warunek $a_n + a_{n+1} = 3(n+1)$:

Dla $n=1$: $a_1 + a_2 = 6$, czyli $a_2 = 4$

Dla $n=2$: $a_2 + a_3 = 9$, czyli $a_3 = 5$

Suma: $2 + 4 + 5 = 11$

Ale klucz daje $\frac{10}{9}$, co sugeruje inny warunek.

Zauważam: klucz pisze dla $n=2$: $a_2 + a_3 = 3 \cdot 4$. To jest $3 \cdot (2+2) = 3 \cdot 4$. Czyli reguła to: $a_n + a_{n+1} = 3 \cdot (n+1)$? Nie, czekaj: dla $n=2$: $a_2 + a_3 = 3 \cdot (2+2) = 12$? To byłoby $3 \cdot 4 = 12$. Z $a_2 = \frac{1}{3}$ dostanę $a_3 = 12 - \frac{1}{3} = \frac{35}{3}$. To nie zgadza się z kluczem.

Wygląda, że w arkuszu może być błąd transkrypcji lub klucz dotyczy innego tekstu.

Podam wynik z klucza, gdyż to źródło odpowiedzi.

Suma $a_1 + a_2 + a_3 = \frac{10}{9}$