Matematyka Dodatkowa 2020 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Wielomian W ( x ) = x 3 − x 2 − x − 2 W(x) = x^3 - x^2 - x - 2 W ( x ) = x 3 − x 2 − x − 2 jest podzielny bez reszty przez wielomian A. x + 2 x + 2 x + 2 B. x + 1 x + 1 x + 1 C. x − 1 x - 1 x − 1 D. x − 2 x - 2 x − 2
Matematyka Dodatkowa 2020 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Granica lim x → + ∞ ( x 3 + 8 x 2 − 4 ) \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^3 + 8}{x^2 - 4} \right) lim x → + ∞ ( x 2 − 4 x 3 + 8 ) jest równa A. − ∞ -\infty − ∞ B. + ∞ +\infty + ∞ C. 0 0 0 D. − 2 -2 − 2
Matematyka Dodatkowa 2020 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Funkcja f f f jest określona wzorem f ( x ) = x 2 + 3 x + 1 x 2 + 1 f(x) = \frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 + 1} f ( x ) = x 2 + 1 x 2 + 3 x + 1 dla wszystkich liczb rzeczywistych x x x . Pochodna f ′ f' f ′ tej funkcji jest określona wzorem A. f ′ ( x ) = 3 x 2 f'(x) = 3x^2 f ′ ( x ) = 3 x 2 B. f ′ ( x ) = 2 x 2 − 3 x + 2 x 2 + 1 f'(x) = \frac{2x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1} f ′ ( x ) = x 2 + 1 2 x 2 − 3 x + 2 C.…
Matematyka Dodatkowa 2020 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Wyrażenie 1 3 + 2 1 + 2 \frac{1}{3 + \frac{2}{1 + \sqrt{2}}} 3 + 1 + 2 2 1 jest równe A. 3 + 2 2 − 1 3 + 2\sqrt{2} - 1 3 + 2 2 − 1 B. 2 2 + 6 − 4 2\sqrt{2} + 6 - 4 2 2 + 6 − 4 C. 1 4 \frac{1}{4} 4 1 D. 3 + 2 2 6 − 1 \frac{3 + 2\sqrt{2}}{6} - 1 6 3 + 2 2 − 1
Matematyka Dodatkowa 2020 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego ( a n ) (a_n) ( a n ) , określonego dla n ≥ 1 n \geq 1 n ≥ 1 , jest równa 2 2 2 , a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 3 3 3 . Oblicz iloraz ciągu ( a n ) (a_n) ( a n ) . W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej –…
Matematyka Dodatkowa 2020 3 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Pierwszy wyraz ciągu ( a n ) (a_n) ( a n ) , określonego dla n ≥ 1 n \geq 1 n ≥ 1 , jest równy 2 2 2 . Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek a n + 1 = 3 ⋅ a n + n 2 a_{n+1} = 3 \cdot a_n + n^2 a n + 1 = 3 ⋅ a n + n 2 . Oblicz sumę a 1 + a 2 + a 3 a_1 + a_2 + a_3 a 1 + a 2 + a 3 .
Matematyka Dodatkowa 2020 3 pkt otwarte trudne (szac.)
Dany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty A A A , B B B , C C C i D D D . Wykaż, że jeżeli ∠ A C B = ∠ A D B \angle ACB = \angle ADB ∠ A C B = ∠ A D B , to ∠ B A C = ∠ B D C \angle BAC = \angle BDC ∠ B A C = ∠ B D C .
Matematyka Dodatkowa 2020 3 pkt otwarte trudne (szac.)
Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej n n n wyrażenie n 5 − n 3 − n + 3 n^5 - n^3 - n + 3 n 5 − n 3 − n + 3 jest podzielne przez 16 16 16 .
Matematyka Dodatkowa 2020 4 pkt otwarte trudne (szac.)
Rozwiąż równanie 4 sin 3 x + sin 2 x = 2 sin x ⋅ ( 2 cos 2 x + 1 ) 4\sin^3 x + \sin 2x = 2\sin x \cdot (2\cos^2 x + 1) 4 sin 3 x + sin 2 x = 2 sin x ⋅ ( 2 cos 2 x + 1 ) .
Matematyka Dodatkowa 2020 4 pkt otwarte trudne (szac.)
Dla pewnych liczb rzeczywistych a > 1 a > 1 a > 1 , b > 1 b > 1 b > 1 i N > 1 N > 1 N > 1 jest spełniona równość log a N ⋅ log b N = 20 3 ( log a N + log a b N ) \log_a N \cdot \log_b N = \frac{20}{3} \left( \log_a N + \log_{ab} N \right) log a N ⋅ log b N = 3 20 ( log a N + log ab N ) . Wyznacz wszystkie wartości wyrażenia log a b \log_a b log a b .
Matematyka Dodatkowa 2020 5 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m m m , dla których nierówność ( m 2 + 4 m − 5 ) ⋅ 2 x 2 + 2 x > 2 2 m − 1 (m^2+4m-5) \cdot 2^{x^2+2x} > 2^{2m-1} ( m 2 + 4 m − 5 ) ⋅ 2 x 2 + 2 x > 2 2 m − 1 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x x x .
Matematyka Dodatkowa 2020 6 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Punkt A = ( − 2 , 6 ) A=(-2,6) A = ( − 2 , 6 ) jest wierzchołkiem rombu A B C D ABCD A B C D o polu równym 82,5 82{,}5 82 , 5 . Przekątna B D BD B D tego rombu zawiera się w prostej l l l o równaniu 2 x − y − 5 = 0 2x-y-5=0 2 x − y − 5 = 0 . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.
Matematyka Dodatkowa 2020 3 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że w zapisie dziesiętnym iloczyn wszystkich cyfr każdej z tych liczb jest równy 28 28 28 .
Matematyka Dodatkowa 2020 6 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Oblicz cosinus kąta ostrego tego rombu.
Matematyka Dodatkowa 2020 7 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej jest równa d d d . Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozpatrywanych ostrosłupów, który ma największą objętość.…