Zadanie 7, czerwiec 2021: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dany jest trójkąt $ABC$ . Na boku $AB$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

tego trójkąta obrano punkty

D

,

E

i

F

tak, że

|AD|=|DE|=|EF|=2|FB|

. Na bokach

AC

i

BC

obrano – odpowiednio – punkty

G

i

H

tak, że

DG\parallel EC

oraz

FH\parallel EC

(zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta

FBH

jest równe

S

, to pole trójkąta

ADG

jest równe

3S

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Oznaczmy pole trójkąta $FBH$ przez $S$ , a długość odcinka $FB$ przez $x$ . Wtedy $|AD|=|DE|=|EF|=2x$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisanie podobieństwa trójkątów i związku między wysokościami lub polami (np. $P_{EBC}=9S$ lub $P_{AEC}=\frac{4}{3}P_{EBC}$

Komentarz

Jeśli zdający wprowadza dodatkowe założenia nie wynikające z treści zadania, otrzymuje 0 punktów.

Umiejętności w zadaniu

. Trójkąty

EBC

i

FBH

są podobne (bo

EC\parallel FH

), więc

\frac{P_{EBC}}{P_{FBH}}=\left(\frac{|EB|}{|FB|}\right)^2=\left(\frac{3x}{x}\right)^2=9

, stąd

P_{EBC}=9S

. Trójkąty

AEC

i

EBC

mają wspólną wysokość z wierzchołka

C

, więc

\frac{P_{AEC}}{P_{EBC}}=\frac{|AE|}{|EB|}=\frac{4x}{3x}=\frac{4}{3}

, stąd

P_{AEC}=12S

. Trójkąty

ADG

i

AEC

są podobne (bo

DG\parallel EC

) w skali

\frac{|AD|}{|AE|}=\frac{2x}{4x}=\frac{1}{2}

, więc

\frac{P_{ADG}}{P_{AEC}}=\frac{1}{4}

, stąd

P_{ADG}=3S

.

lub

P_{AEC}=4P_{ADG}

).

2 pkt

zapisanie zależności między polami trzech par trójkątów pozwalających na powiązanie $P_{ADG}$ z $S$ (np. $P_{AEC}=4P_{ADG}$ i $P_{AEC}=\frac{4}{3}P_{EBC}$ i $P_{EBC}=9P_{FBH}$ ).

3 pkt

pełne, poprawne rozumowanie.