Matura z matematyki, czerwiec 2021

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 1

Wartość wyrażenia $\left(\left(\sqrt{3}-1\right)^2-\left(\sqrt{3}+1\right)^2\right)^3$ jest równa A. 512 B. 0 C. $-24\sqrt{3}$ D. $-192\sqrt{3}$

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 2

Granice $\lim_{n\to\infty}\frac{an^2+bn+4}{n+1}$ i $\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{an^2+bn+4}$ są równe. Stąd wynika, że A. $a=0$ i $b=0$ B. $|a|=1$ i $b=0$ C. $|a|=1$ i $|b|=1$ D. $a=0$ i $|b|=1$

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 3

Wektory $\vec{a}=[m-2, m+2]$ oraz $\vec{b}=[m^{1{,}5}, 2^{1{,}5}]$ mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy A. $m=0$ lub $m=4$ B. $m=0$ lub $m=2$ C. $m=2$ D. $m=2$ lub $m=4$

MatematykaCzerwiec 20211 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 4

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji $f$ określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Jeden z podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji $f$. A. $f(x)=2\sin(2x)$ B. $f(x)=2\pi\cdot\sin(2x)$ C.…

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20212 pktobliczeniowełatwe (szac.)

Zadanie 5

Wynikiem dzielenia wielomianu $5x^3-7x^2-4x-4$ przez dwumian $x-2$ jest trójmian kwadratowy postaci $ax^2+bx+c$. W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – wartości współczynników $a$, $b$ oraz $c$.

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20213 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 6

Niech $\log_2 9 = c$. Wykaż, że $\log_3 54 = \frac{3c+2}{c}$.

MatematykaCzerwiec 20213 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 7

Dany jest trójkąt $ABC$. Na boku $AB$ tego trójkąta obrano punkty $D$, $E$ i $F$ tak, że $|AD|=|DE|=|EF|=2|FB|$. Na bokach $AC$ i $BC$ obrano – odpowiednio – punkty $G$ i $H$ tak, że $DG\parallel EC$ oraz $FH\parallel EC$ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli…

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20214 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 8

Rozwiąż równanie $2\cos^2 x - \cos x = \sin(2x) - \sin x$ w przedziale $\langle 0, 2\pi\rangle$.

MatematykaCzerwiec 20214 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9

Dane są prosta $k$ o równaniu $x-2y=0$ i prosta $l$ o równaniu $2x+y-1=0$. Punkt $P$ leży na prostej o równaniu $y=x+4$. Odległość punktu $P$ od prostej $k$ jest dwa razy większa niż odległość punktu $P$ od prostej $l$. Oblicz współrzędne punktu $P$.

MatematykaCzerwiec 20214 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 10

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $2$. Punkt $S$ jest środkiem krawędzi $DH$ (zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta $CFS$.

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20214 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11

W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów. W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego (liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia…

MatematykaCzerwiec 20215 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $(x-3)(x^2 + (m-1)x - 6m^2 + 2m) = 0$ ma dokładnie dwa rozwiązania.

MatematykaCzerwiec 20215 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 13

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x) = x^3 + \frac{k}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq 0$. Oblicz wartość $k$, dla której prosta o równaniu $y = -x$ jest styczna do wykresu funkcji $f$.

MatematykaCzerwiec 20215 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 14

Oblicz długość boku $BC$ tego czworokąta.

MatematykaCzerwiec 20217 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne $ABC$ o przeciwprostokątnej $AB$ i obwodzie równym $4$. Niech $x = |AC|$. a) Wykaż, że pole $P$ trójkąta $ABC$ jako funkcja zmiennej $x$ jest określone wzorem $P(x) = \frac{x(4 - 2x)}{4 - x}$ b) Wyznacz dziedzinę…