Zadanie 15, czerwiec 2021: matematyka rozszerzona

Polecenie

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne $ABC$ o przeciwprostokątnej $AB$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

i obwodzie równym

4

. Niech

x = |AC|

.

a) Wykaż, że pole $P$ trójkąta $ABC$ jako funkcja zmiennej $x$ jest określone wzorem

$P(x) = \frac{x(4 - 2x)}{4 - x}$

b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$ .

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

a) Przyjmując $b = |BC|$ i $c = |AB|$ , z warunku obwodu: $c = 4 - (x + b)$

Schemat punktowania

2 pkt

wykazanie wzoru na pole $P(x) = \frac{x(4 - 2x)}{4 - x}$ .

1 pkt

Komentarz

Jeśli zdający wyznaczy pochodną z błędem, ale będzie to funkcja wymierna postaci $\frac{ax^2 + bx + c}{(4 - x)^2}$ z dodatnim wyróżnikiem trójmianu kwadratowego w liczniku, może otrzymać punkty za konsekwentne obliczenie miejsc zerowych. Za uzasadnienie maksimum można uznać opis monotoniczności (słownie, graficznie ze strzałkami) lub stwierdzenie o maksimum lokalnym będącym największą wartością funkcji.

Umiejętności w zadaniu

. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa:

[4 - (x + b)]^2 = x^2 + b^2

, skąd

b = \frac{8 - 4x}{4 - x}

. Pole:

P = \frac{1}{2} \cdot x \cdot b = \frac{x(4 - 2x)}{4 - x}

.

b) Dziedzina: $(0, 2)$

c) Pochodna: $P'(x) = \frac{2x^2 - 16x + 16}{(4 - x)^2}$ . Miejsce zerowe: $x = 4 - 2\sqrt{2}$ . Funkcja rosnąca na $(0, 4 - 2\sqrt{2})$ , malejąca na $(4 - 2\sqrt{2}, 2)$ . Długości boków: $4 - 2\sqrt{2}$ , $4 - 2\sqrt{2}$ , $4\sqrt{2} - 4$ . Największe pole: $4(3 - 2\sqrt{2})$ .

wyznaczenie dziedziny funkcji

P

:

(0, 2)

.

1 pkt

wyznaczenie pochodnej funkcji $P$ : $P'(x) = \frac{2x^2 - 16x + 16}{(4 - x)^2}$ .

2 pkt

zastosowanie warunku koniecznego ekstremum i obliczenie miejsc zerowych pochodnej: $x = 4 - 2\sqrt{2}$ .

3 pkt

zbadanie znaku pochodnej i wyznaczenie, że maksimum występuje w $x = 4 - 2\sqrt{2}$ (funkcja rosnąca na $(0, 4 - 2\sqrt{2}]$ , malejąca na $[4 - 2\sqrt{2}, 2)$ ).

4 pkt

zapisanie długości boków: $4 - 2\sqrt{2}$ , $4 - 2\sqrt{2}$ , $4\sqrt{2} - 4$ oraz największego pola: $4(3 - 2\sqrt{2})$ .