Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

$\cos(\angle ADB) = \frac{7}{8}$, $|\angle BCD| = 90°$ oraz $|AB| > \sqrt{15}$.

Oblicz długość boku $BC$ tego czworokąta.

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $ABD$:

$a^2 = (2a)^2 + 6^2 - 2 \cdot 2a \cdot 6 \cdot \frac{7}{8}$

$a^2 = 4a^2 + 36 - 21a$

$a^2 - 7a + 12 = 0$

$(a-3)(a-4) = 0$

Ponieważ $|AB| > \sqrt{15} \approx 3{,}87$, to $|AB| = 4$ i $|AD| = 8$.

Z twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu:

$|AB| + |CD| = |BC| + |AD|$

$4 + |CD| = |BC| + 8$

$|CD| = |BC| + 4$

Trójkąt $BCD$ jest prostokątny ($\angle BCD = 90°$), więc z twierdzenia Pitagorasa:

$|BC|^2 + |CD|^2 = |BD|^2 = 36$

$|BC|^2 + (|BC| + 4)^2 = 36$

$|BC|^2 + |BC|^2 + 8|BC| + 16 = 36$

$2|BC|^2 + 8|BC| - 20 = 0$

$|BC|^2 + 4|BC| - 10 = 0$

$|BC| = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -2 \pm \sqrt{14}$

Ponieważ długość jest dodatnia: $|BC| = -2 + \sqrt{14}$