Informacja do zadań 9a-9d. A right circular cone sits inside a hollow hemispherical bowl of radius r. The cone’s apex O is the centre of the sphere, and its base rim touches the bowl. Let C be the centre of the cone’s base and B a point on its rim. Write OC=h, CB=R and ∠ COB=θ, where 0<θ<π/2. Thus OB=r is also the cone’s slant height. Let S be the cone’s total surface area, including its base. The curved area of the hemisphere equals 9/5S. Zadanie 9d. Find the cone’s volume in the form pπ r³√5, where p is a positive rational number.

V=1/3π R²h=1/3π r³sin² θcos θ. Since sin θ=2/3 and the angle is acute, cos θ=√(1-4/9)=√5/3. Substitution gives V=1/3π r³·4/9·(√5)/3=4/81π r³√5.

Zadanie 9d, Paper 1, maj 2025, TZ1, Matematyka AA IB SL

5 pktobliczenioweśrednie (szac.)Paper 1, maj 2025, TZ1

Wzorowane na: Matematyka AA IB SL — maj 2025, TZ1, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 9(d). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Zadanie

Wspólne informacje do wiązki zadań

A right circular cone sits inside a hollow hemispherical bowl of radius r. The cone’s apex O is the centre of the sphere, and its base rim touches the bowl. Let C be the centre of the cone’s base and B a point on its rim. Write OC = h, CB = R and $\angle COB=\theta$ , where 0 < θ < π/2. Thus OB = r is also the cone’s slant height. Let S be the cone’s total surface area, including its base. The curved area of the hemisphere equals $\frac95S$ .

Polecenie

Find the cone’s volume in the form $p\pi r^3\sqrt5$ , where p is a positive rational number.

Korepetytor

Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.

Wypróbuj za darmo

3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się

Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.

Wypróbuj za darmo

3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się

Sprawdź się

Jak poszło?

Ocena AI

Pro

Zdjęcie kartki albo tekst. Punkty według schematu CKE.

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

3 darmowe sprawdzenia po założeniu konta, bez karty.

Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie

Odpowiedź z klucza

$V=\frac13\pi R^2h=\frac13\pi r^3\sin^2\theta\cos\theta$ . Since $\sin\theta=2/3$ and the angle is acute, $\cos\theta=\sqrt{1-4/9}=\sqrt5/3$ . Substitution gives $V=\frac13\pi r^3\cdot\frac49\cdot\frac{\sqrt5}{3}=\frac4{81}\pi r^3\sqrt5$ .

Schemat punktowania

M1: use the cone-volume formula. A1: radius and height correctly substituted in terms of r and theta. M1: use a right triangle or the Pythagorean identity to find cosine from the known sine. A1: substitute sine=2/3 and cosine =sqrt(5)/3 correctly. A1: requested simplified form with p=4/81.

Komentarz. Paper 1: no calculator. Equivalent exact forms and valid alternative methods are accepted unless a method is specified.

Filtry

Zadanie 9d, Paper 1, maj 2025, TZ1, Matematyka AA IB SL

Zadanie

Korepetytor

Sprawdź się

Jak poszło?

Jak poszło?

Ocena AI

Odpowiedź z klucza

Schemat punktowania

Umiejętności w zadaniu

Jak poszło?

Ocena AI