Zadanie 29, czerwiec 2020: matematyka podstawowa

Polecenie

Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt $E$ leży na wysokości $CD$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

tego trójkąta oraz

CE = \frac{3}{4}CD

. Punkt

F

leży na boku

BC

i odcinek

EF

jest prostopadły do

BC

(zobacz rysunek).

Wykaż, że $CF = \frac{9}{16}CB$ .

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Z warunku $CE = \frac{3}{4}CD$ wynika, że $ED = \frac{1}{4}CD$

Schemat punktowania

1 pkt

zaznaczenie, że $ED = \frac{1}{4}CD$ , i prawidłowe wykorzystanie własności trójkąta równobocznego, lub zaznaczenie istotnych kątów.

2 pkt

pełne uzasadnienie relacji $CF = \frac{9}{16}CB$

Komentarz

Dowód może być przeprowadzony za pomocą podobieństwa trójkątów, używając własności wysokości w trójkącie równobocznym i kątów.

Umiejętności w zadaniu

.

W trójkącie równobocznym wysokość dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne.

Z podobieństwa trójkątów (lub równości kątów) wynika, że $\angle EFD = \angle DCB = 60°$ .

Trójkąt $EFD$ jest prostokątny z kątem $60°$ .

Z proporcji wynika $EF = ED \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{4}CD \cdot \sqrt{3}$ .

Z podobieństwa trójkątów $EFB$ i $CDB$ : $\frac{CF}{CB} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$ .

z wykorzystaniem podobieństwa trójkątów lub zależności między długościami boków.