Zadanie 34, czerwiec 2020: matematyka podstawowa

Polecenie

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ , którego krawędź boczna ma długość $6$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

(zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy

\sqrt{7}

. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$V = \frac{32\sqrt{7}}{3}$

Schemat punktowania

1 pkt

zaznaczenie na rysunku kąta $\alpha$ nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy lub zapisanie warunku wynikającego z definicji tangensa, Pitagorasa w odpowiednim trójkącie, lub definicji sinusa/cosinusa.

2 pkt

zapisanie układu dwóch lub trzech równań z niewiadomymi.

3 pkt

zapisanie równania z jedną niewiadomą.

4 pkt

obliczenie długości krawędzi podstawy ( $a = 4$ ) lub wysokości ostrosłupa ( $h = 2\sqrt{7}$

Komentarz

Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe niezmieniające poprawności rozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie, może otrzymać co najwyżej 4 punkty. Jeśli jedynym błędem jest pominięcie współczynnika $\frac{1}{3}$ we wzorze na objętość, otrzymuje 4 punkty. Błędna interpretacja kąta nachylenia skutkuje co najwyżej 1 punktem.

Umiejętności w zadaniu

Zaznaczamy na rysunku kąt $\alpha$ – kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Wprowadzamy oznaczenia: $a$ – krawędź podstawy ostrosłupa, $h$ – wysokość ostrosłupa.

Z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym $SOE$ otrzymujemy związek $\frac{h}{\frac{a}{2}} = \sqrt{7}$ , czyli $h = \frac{a\sqrt{7}}{2}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $SOC$ wynika równanie $h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 6^2$ .

Wykorzystując wcześniejszą zależność otrzymujemy $\left(\frac{a\sqrt{7}}{2}\right)^2 + \frac{a^2}{2} = 36$ .

$\frac{7a^2}{4} + \frac{a^2}{2} = 36$

$\frac{9a^2}{4} = 36$ , stąd $a^2 = 16$ , czyli $a = 4$ .

Stąd $h = \frac{4\sqrt{7}}{2} = 2\sqrt{7}$ .

Objętość ostrosłupa: $V = \frac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot 2\sqrt{7} = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{7} = \frac{32\sqrt{7}}{3}$ .

).

5 pkt

obliczenie objętości ostrosłupa: $V = \frac{32\sqrt{7}}{3}$ .