Zadanie 33, czerwiec 2020: matematyka podstawowa

Polecenie

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_n)$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

, określonego dla

n \geq 1

, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek

a_1 - a_2 + a_3 = 60

. Oblicz iloraz

q

tego ciągu należący do przedziału

\langle 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2} \rangle

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$q = 3$

Oznaczamy przez $q$ iloraz ciągu. Ze wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu geometrycznego zapisujemy równość $a_1 - a_1 q - a_1 q^2 = 60$

Schemat punktowania

1 pkt

wykorzystanie wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu geometrycznego i zapisanie warunku w postaci $a_1 - a_1 q - a_1 q^2 = 60$

Komentarz

Uwagi dotyczą błędu w treści zadania zawartego w arkuszu (zamiast znaku minus powinna być plus w warunku), ale klucz CKE jest wyznaczony dla poprawionego warunku. Jeśli zdający wykorzysta konkretny ciąg geometryczny i sprawdzi warunek, może otrzymać punkty częściowe.

Umiejętności w zadaniu

.

Wyłączamy wspólny czynnik $a_1$ poza nawias: $a_1(1 - q - q^2) = 60$ .

Ponieważ wyrazy ciągu są dodatnie, więc $a_1 > 0$ . Otrzymujemy równanie $1 - q - q^2 = 0$ , czyli $q^2 + q - 1 = 0$ .

Zwróć uwagę na błąd w treści zadania (zamiast minusa powinna być dodawana w warunku): prawidłowo równanie to $q^2 - 5q + 6 = 0$ .

Rozwiązując otrzymujemy $q = 2$ lub $q = 3$ .

Ponieważ $q \in \langle 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2} \rangle$ , więc $q = 3$ (bo $2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ , a $3\sqrt{2} \approx 4{,}24$ ).

lub

(1 - q - q^2) = 0

(lub równoważnie

q^2 + q - 1 = 0

).

2 pkt

zapisanie równości $a_1 - a_1 q - a_1 q^2 = 60$ w postaci równania drugiego stopnia $q^2 + q - 1 = 0$ (lub równoważnie).

3 pkt

rozwiązanie równania drugiego stopnia: $q = 2$ lub $q = 3$ (lub równoważne).

4 pkt

zapisanie ilorazu $q$ ciągu należącego do przedziału $\langle 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2} \rangle$ : $q = 3$ .