Matura z matematyki, czerwiec 2020: zadania z rozwiązaniami

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 74%

Zadanie 1

Wartość wyrażenia $\frac{x^2-6}{x+9}$ dla $x=3+\sqrt{3}$ jest równa A. 1 B. 3 C. $1+2\sqrt{3}$ D. $1-2\sqrt{3}$

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamknięteśrednie 61%

Zadanie 2

Liczba $\frac{2^{50} \cdot 3^{40}}{10^{20} \cdot 36}$ jest równa A. $6^{70}$ B. $6^{45}$ C. $2^{30} \cdot 3^{20}$ D. $2^{10} \cdot 3^{20}$

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 76%

Zadanie 3

Liczba $\log_5 125$ jest równa A. $\frac{2}{3}$ B. 2 C. 3 D. $\frac{3}{2}$

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 79%

Zadanie 4

Cenę $x$ pewnego towaru obniżono o 20% i otrzymano cenę $y$ . Aby przywrócić cenę $x$ , nową cenę $y$ należy podnieść o A. 25% B. 20% C. 15% D. 12%

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 65%

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $3(1-x) > 2(3x-1)-12$ jest przedział A. $\left(-\infty, \frac{5}{3}\right)$ B. $\left(-\infty, -\frac{5}{3}\right)$ C. $\left(\frac{5}{3}, +\infty\right)$ D. $\left(-\frac{5}{3}, +\infty\right)$

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamknięteśrednie 64%

Zadanie 6

Suma wszystkich rozwiązań równania $x(x-3)(x+2)=0$ jest równa A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 65%

Zadanie 7

Informacja do zadań 7.–9. Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=a(x-1)(x-3)$ . Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(2,1)$ . Współczynnik $a$ we wzorze funkcji $f$ jest…

Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 79%

Zadanie 8

Największa wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle 1, 4 \rangle$ jest równa A. $-3$ B. 0 C. 1 D. 2

Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 77%

Zadanie 9

Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f$ jest prosta o równaniu A. $x=1$ B. $x=2$ C. $y=1$ D. $y=2$

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 77%

Zadanie 10

Równanie $(x-2)^2=(x-2)x$ w zbiorze liczb rzeczywistych A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x=2$ . C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x=0$ . D. ma dwa różne rozwiązania: $x=1$ i $x=2$ .

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamknięteśrednie 61%

Zadanie 11

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej $f$ określonej wzorem $f(x)=ax+b$ . Współczynniki $a$ oraz $b$ we wzorze funkcji $f$ spełniają zależność A. $a+b>0$ B. $a+b=0$ C. $a \cdot b>0$ D. $a \cdot b<0$

Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 68%

Zadanie 12

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{4}{x-1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ . Liczba $f\left(\frac{1}{2}\right)$ jest równa A. $1\frac{1}{2}$ B. $-8$ C. 3 D. 17

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 78%

Zadanie 13

Proste o równaniach $y=(m-2)x$ oraz $y=\frac{3}{7}x+4$ są równoległe. Wtedy A. $m=-\frac{5}{4}$ B. $m=\frac{2}{3}$ C. $m=\frac{11}{4}$ D. $m=\frac{10}{3}$

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 80%

Zadanie 14

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2^{n^2}$ dla $n \geq 1$ . Różnica $a_5-a_4$ jest równa A. 4 B. 20 C. 36 D. 18

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 88%

Zadanie 15

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ , określonym dla $n \geq 1$ , czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma $a_1+a_2+a_3+a_4$ jest równa A. $-42$ B. $-36$ C. $-18$ D. 6

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 69%

Zadanie 16

Punkt $A=(1,-1)$ należy do wykresu funkcji liniowej $f$ określonej wzorem $f(x)=3x+b$ . Wynika stąd, że A. $b=2$ B. $b=1$ C. $b=-1$ D. $b=-4$

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 80%

Zadanie 17

Punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$ . Kąt środkowy $\angle DOC$ ma miarę 118°. Miara kąta $\angle ABC$ jest równa A. 59° B. 48° C. 62° D. 31°

Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 75%

Zadanie 18

Prosta przechodząca przez punkty $A=(3,-2)$ i $B=(-1,6)$ jest określona równaniem A. $y=-2x+4$ B. $y=-2x-8$ C. $y=2x+8$ D. $y=2x-4$

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 68%

Zadanie 19

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych $\alpha$ i $\beta$ . Wyrażenie $2\cos\alpha - \sin\beta$ jest równe A. $2\sin\beta$ B. $\cos\alpha$ C. 0 D. 1

Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamknięteśrednie 64%

Zadanie 20

Punkt $B$ jest obrazem punktu $A=(-3,5)$ w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka $AB$ jest równa A. $\sqrt{34}$ B. 8 C. $2\sqrt{34}$ D. 12

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 84%

Zadanie 21

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie powtarzają? A. 10 B. 15 C. 20 D. 25

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamknięteśrednie 58%

Zadanie 22

Pole prostokąta $ABCD$ jest równe 90. Na bokach $AB$ i $CD$ wybrano – odpowiednio – punkty $P$ i $R$ , takie, że $\frac{AP}{PB}=\frac{CR}{RD}=\frac{3}{2}$ . Pole czworokąta $APCR$ jest równe A. 36 B. 40 C. 54 D. 60

Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 68%

Zadanie 23

Cztery liczby: 2, 3, a, 8, tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: 5, 3, 6, 8, 2. Zatem A. $a = 7$ B. $a = 6$ C. $a = 5$ D. $a = 4$

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 65%

Zadanie 24

Przekątna sześcianu ma długość $4\sqrt{3}$ . Pole powierzchni tego sześcianu jest równe A. 96 B. $24\sqrt{3}$ C. 192 D. $16\sqrt{3}$

MatematykaCzerwiec 20201 pktzamkniętełatwe 69%

Zadanie 25

Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy 3:2. Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa $12 \ \text{cm}^3$ . Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest…

Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20202 pktobliczenioweśrednie 57%

Zadanie 26

Rozwiąż nierówność $(2x-1)(x+3) > 1 - x$ .

MatematykaCzerwiec 20202 pktobliczenioweśrednie 62%

Zadanie 27

Rozwiąż równanie $(x^2-1)(x^2-2x) = 0$ .

MatematykaCzerwiec 20202 pktotwartetrudne 20%

Zadanie 28

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a^2 - ab + b^2 > 0$ .

MatematykaCzerwiec 20202 pktotwartetrudne 16%

Zadanie 29

Wykaż, że $CF = \frac{9}{16}CB$ .

Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20202 pktobliczenioweśrednie 53%

Zadanie 30

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

MatematykaCzerwiec 20202 pktobliczeniowetrudne 39%

Zadanie 31

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\frac{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\cos\alpha} = 4$ . Oblicz tangens kąta $\alpha$ .

MatematykaCzerwiec 20204 pktobliczeniowetrudne 22%

Zadanie 32

Dany jest kwadrat ABCD, w którym $A = \begin{pmatrix} 5 \\ -\frac{5}{3} \end{pmatrix}$ . Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu $y = \frac{4}{3}x$ . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD.

MatematykaCzerwiec 20204 pktobliczeniowetrudne 32%

Zadanie 33

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_n)$ , określonego dla $n \geq 1$ , są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_1 - a_2 + a_3 = 60$ . Oblicz iloraz $q$ tego ciągu należący do przedziału $\langle 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2} \rangle$ .

MatematykaCzerwiec 20205 pktobliczeniowetrudne 21%

Zadanie 34

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ , którego krawędź boczna ma długość $6$ (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy $\sqrt{7}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Materiał graficzny