Zadanie 21, matura próbna 2026, matematyka podstawowa

Kąt DAB ma miarę 60°.

Przykładowe rozwiązanie (Sposób I):

∣CD∣ = a, zatem ∣AB∣ = 2a. Niech $|\angle DAB| = |\angle ABC| = 2\alpha$.

Ponieważ AC zawiera się w dwusiecznej kąta DAB, to $|\angle DAC| = |\angle CAB| = \alpha$.

Kąty CAB i ACD są naprzemianległe oraz AB ∥ CD, zatem $|\angle ACD| = \alpha$.

Trójkąt ACD jest równoramienny oraz ∣AD∣ = ∣CD∣ = a, a także ∣BC∣ = a.

Niech E będzie spodkiem wysokości z C. Wówczas $|EB| = \frac{|AB| - |CD|}{2} = \frac{a}{2}$.

W trójkącie prostokątnym EBC: $\cos 2\alpha = \frac{|EB|}{|BC|} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$, stąd 2α = 60°.