Zadanie 7, czerwiec 2020: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym $|AC| = |BC| = 6$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

, a punkt D jest środkiem podstawy AB. Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M. Punkt K leży na boku AC, punkt L leży na boku BC, odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz

|KC| = |LC| = 2

(zobacz rysunek).

Wykaż, że $\frac{|AM|}{|MC|} = \frac{4}{5}$ .

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wnosimy, że odcinek KL jest równoległy do odcinka AB.

Oznaczmy środek odcinka KL przez P i niech $|CP| = x$ .

Trójkąty CKP i CAD są podobne (cecha KKK) w skali 1:3. Wtedy $|PD| = 2x$ i $|MD| = 2x$

Schemat punktowania

1 pkt

niewielki postęp (np. skorzystanie z podobieństwa trójkątów lub twierdzenia o odcinkach stycznych); 2 pkt – pokonanie zasadniczych trudności (np. skorzystanie z podobieństwa trójkątów CPK i CMD lub ADM i ACD i zapisanie poprawnego równania); 3 pkt – rozwiązanie pełne (rozwiązanie równania i uzasadnienie tezy).

Umiejętności w zadaniu

Twierdzenie odwrotne do Talesa Ćwicz podobne

.

Trójkąty CPK i CMD są podobne (cecha KKK). Stąd $\frac{|PK|}{|MD|} = \frac{|CK|}{|CD|}$ , czyli $\frac{|PK|}{2x} = \frac{2}{6}$ .

Stąd $|PK| = \frac{2x}{3}$ , czyli $|PK| = \frac{4}{3}$ , więc $|AM| = \frac{8}{3}$ oraz $|MC| = 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$ .

Zatem $\frac{|AM|}{|MC|} = \frac{8/3}{10/3} = \frac{4}{5}$ . To kończy dowód.