Zadanie 11, czerwiec 2020: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dane jest równanie kwadratowe $(x-2)^2 + 3(2m+2)x + m^2 + 7m - 15 = 0$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

z niewiadomą

x

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których różne rozwiązania

x_1

i

x_2

tego równania istnieją i spełniają warunek

\frac{x_1^2}{x_2} + \frac{x_2^2}{x_1} + 2 = \frac{5}{2}

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Równanie do rozwiązania: $20m^2 + 31m - 9 = 0$ ma dwa rozwiązania: $m_1 = -\frac{9}{5}$

Schemat punktowania

1 pkt

rozwiązanie nierówności $\Delta > 0$ lub sprawdzenie, że dla każdej obliczonej wartości parametru równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste.

3 pkt

wyznaczenie wartości parametru $m$ spełniających warunek zadania ( $m_1 = -\frac{9}{5}$

Komentarz

Należy sprawdzić, że obie otrzymane wartości parametru spełniają warunek $\Delta > 0$ . Błędne zastosowanie wzorów Viete'a lub niepoprawne przekształcenie warunku może obniżyć liczbę punktów.

Umiejętności w zadaniu

oraz

m_2 = \frac{1}{4}

.

Wyznaczenie pierwiastków: $x_1 = m + 5$ oraz $x_2 = 2m - 3$ .

Przekształcenie warunku do postaci: $(x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2 = 2$ .

Ze wzorów Viete'a: $x_1 + x_2 = -(3(2m+2)) = -3(2m+2)$ , $x_1 x_2 = m^2 + 7m - 15$ .

Obliczenie wyróżnika: $\Delta = (3(2m+2))^2 - 4(m^2 + 7m - 15) = (8m-8)^2 = 64(m-1)^2 > 0$ dla $m \neq 8$ .

Rozwiązanie równania warunkowego i sprawdzenie obu wartości parametru.

,

m_2 = \frac{1}{4}

): 1 pkt za obliczenie pierwiastków lub przekształcenie warunku, 2 pkt za zapisanie równania z jedną niewiadomą, 3 pkt za rozwiązanie tego równania.