Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

$a_1 + a_2 + a_3 = \frac{21}{4}$

Wyrazy $a_1, a_2, a_3$ są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz $a_1$.

Wyrazy tego ciągu są odpowiednio czwartym, drugim i pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego, czyli:

wyraz czwarty ciągu arytmetycznego: $a_1 = a$

wyraz drugi ciągu arytmetycznego: $a_2 = aq$

wyraz pierwszy ciągu arytmetycznego: $a_3 = aq^2$

Jeśli ciąg arytmetyczny ma wyrazy $b_1, b_2, b_3, b_4, \ldots$, to:

$b_1 = aq^2$

$b_2 = aq$

$b_4 = a$

Z warunku arytmetycznego: $b_2 - b_1 = b_4 - b_2$, czyli $aq - aq^2 = a - aq$.

Stąd $a(q - q^2) = a(1 - q)$, czyli $a(q - q^2) = a(1 - q)$.

Dla $a \neq 0$: $q(1 - q) = 1 - q$, czyli $q(1-q) - (1-q) = 0$, czyli $(1-q)(q-1) = 0$, czyli $(1-q)(q-1) = -(q-1)^2$. To daje $(q-1)(q-1+1) = 0$ lub $q - q^2 = 1 - q$, stąd $2q - q^2 - 1 = 0$, czyli $q^2 - 2q + 1 = 0$, czyli $(q-1)^2 = 0$, czyli $q = 1$.

To daje $a_1 = a_2 = a_3$, co nie daje rosnącego ciągu arytmetycznego. Ponownie przeanalizuj.

Rosnący ciąg arytmetyczny: różnica $d > 0$. Jeśli $b_1 = aq^2$, $b_2 = aq$, $b_4 = a$, to:

$b_2 = b_1 + d = aq^2 + d = aq$, stąd $d = aq - aq^2 = a(q - q^2)$.

$b_4 = b_1 + 3d = aq^2 + 3a(q - q^2) = aq^2 + 3aq - 3aq^2 = 3aq - 2aq^2 = a(3q - 2q^2) = a$.

Stąd $3q - 2q^2 = 1$, czyli $2q^2 - 3q + 1 = 0$, czyli $(2q-1)(q-1) = 0$.

Stąd $q = \frac{1}{2}$ lub $q = 1$. Dla rosnącego ciągu geometrycznego, przyjmij rozwiązanie.

Dla $q = \frac{1}{2}$: $d = a(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = \frac{a}{4} > 0$ dla $a > 0$.

Warunek sumy: $a + \frac{a}{2} + \frac{a}{4} = \frac{21}{4}$, czyli $a(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = \frac{21}{4}$, czyli $a \cdot \frac{7}{4} = \frac{21}{4}$, czyli $a = 3$.

Sprawndzenie: $a_1 = 3$, $a_2 = \frac{3}{2}$, $a_3 = \frac{3}{4}$. Ciąg geometryczny: $3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}$ (q = 1/2). Wyrazy ciągu arytmetycznego: $b_1 = \frac{3}{4}$, $b_2 = \frac{3}{2}$, $b_3 = \frac{9}{4}$, $b_4 = 3$. Różnica $d = \frac{3}{4}$. Rosnący ciąg. OK.

Odpowiedź: $a_1 = 3$.