Zadanie 15, czerwiec 2020: matematyka rozszerzona

Polecenie

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe $0{,}5$ cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe $0{,}3$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię

60 \text{ cm}^2

. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Niech $a$ oznacza długość ekranu (dłuższy bok), $b$ – szerokość ekranu (krótszy bok).

Warunek: $ab = 60$ , stąd $a = \frac{60}{b}$

Schemat punktowania

1 pkt

poprawne oznaaczenie zmiennych i napisanie warunku $ab = 60$ .

2 pkt

wyznaczenie wymiarów smartfona w zależności od wybranej zmiennej.

3 pkt

zapisanie funkcji $P(b) = (\frac{60}{b} + 0{,}6)(b + 1)$

Komentarz

Zdający musi poprawnie zastosować rachunek różniczkowy. Należy sprawdzić, że otrzymany punkt krytyczny jest rzeczywiście minimum, np. analizując znak drugiej pochodnej lub zachowanie funkcji.

Umiejętności w zadaniu

.

Wymiary smartfona: długość $= a + 2 \cdot 0{,}3 = a + 0{,}6$ , szerokość $= b + 2 \cdot 0{,}5 = b + 1$ .

Powierzchnia smartfona: $P(b) = (a + 0{,}6)(b + 1) = (\frac{60}{b} + 0{,}6)(b + 1) = 60 + \frac{60}{b} + 0{,}6b + 0{,}6$ .

Uproszczenie: $P(b) = 60{,}6 + \frac{60}{b} + 0{,}6b$ .

Obliczenie pochodnej: $P'(b) = -\frac{60}{b^2} + 0{,}6$ .

Rozwiązanie $P'(b) = 0$ : $\frac{60}{b^2} = 0{,}6$ , stąd $b^2 = 100$ , $b = 10$ .

Wyznaczenie $a = \frac{60}{10} = 6$ .

Sprawdzenie warunku minimum (druga pochodna lub analiza znaku pochodnej).

Wymiary smartfona: długość $= 6 + 0{,}6 = 6{,}6$ cm, szerokość $= 10 + 1 = 11$ cm.

lub równoważnej.

4 pkt

uproszczenie funkcji do postaci $P(b) = 60{,}6 + \frac{60}{b} + 0{,}6b$ .

5 pkt

obliczenie pochodnej i rozwiązanie równania $P'(b) = 0$ .

6 pkt

sprawdzenie, że otrzymana wartość jest minimum.

7 pkt

podanie wymiarów smartfona: długość $6{,}6$ cm, szerokość $11$ cm.