Zadanie 6, czerwiec 2020: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$ , dla których równanie

$(x-5)^2 = (1-a)^2 - 4$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Równanie $(x-5)^2 = (1-a)^2 - 4$ ma dwa rozwiązania dodatnie, gdy spełniona jest nierówność $0 < (1-a)^2 - 4 < 5$

Schemat punktowania

1 pkt

niewielki postęp (np. naszkicowanie wykresu funkcji $f(x) = |x-5|$ lub zapisanie warunku na istnienie dwóch rozwiązań); 2 pkt – pokonanie zasadniczych trudności (zapisanie właściwego układu nierówności i rozwiązanie jednej z nich); 3 pkt – rozwiązanie pełne (rozwiązanie całego układu nierówności).

Komentarz

Jeśli zdający użyje warunku $(1-a)^2 - 4 \geq 0$ zamiast $> 0$ i konsekwentnie przeprowadzi rozumowanie do końca uzyskując $(1-a)^2 > 4$

Umiejętności w zadaniu

Zadania z parametrem Ćwicz podobne

.

Stąd $(1-a)^2 - 4 > 0$ i $(1-a)^2 - 4 < 5$ .

Pierwsza nierówność: $(1-a)^2 > 4$ , czyli $(1-a-2)(1-a+2) > 0$ , czyli $(-a-1)(-a+3) > 0$ , czyli $(a+1)(a-3) > 0$ .

Stąd $a < -1$ lub $a > 3$ .

Druga nierówność: $(1-a)^2 < 9$ , czyli $(1-a-3)(1-a+3) < 0$ , czyli $(-a-2)(-a+4) < 0$ , czyli $(a+2)(a-4) < 0$ .

Stąd $-2 < a < 4$ .

Część wspólna: $(-2,-1) \cup (3,4)$ .

, otrzymuje 2 punkty.