Zadanie 8, czerwiec 2020: matematyka rozszerzona

Polecenie

Liczby dodatnie $a$ i $b$ spełniają równość

$a^2 + 4a = b^2 + 4b$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Wykaż, że $a = 2b$ .

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Przekształcamy założenie równoważnie:

$a^2 + 4a = b^2 + 4b$

$a^2 + 4a + 4 = b^2 + 4b + 4$

Schemat punktowania

1 pkt

niewielki postęp (np. przekształcenie równania do postaci $(a+2)^2 = (b+2)^2$ ); 2 pkt – pokonanie zasadniczych trudności (wyznaczenie pierwiastków trójmianu); 3 pkt – rozwiązanie pełne (pełne uzasadnienie).

Komentarz

Jeśli zdający sprawdza prawdziwość równania jedynie dla wybranych wartości $a$ i $b$ , to otrzymuje 0 punktów.

Umiejętności w zadaniu

Wzory skróconego mnożenia Ćwicz podobne

$(a+2)^2 = (b+2)^2$

Stąd $(a+2)^2 - (b+2)^2 = 0$ , czyli $(a+2-b-2)(a+2+b+2) = 0$ , czyli $(a-b)(a+b+4) = 0$ .

Ponieważ $a, b > 0$ , to $a + b + 4 > 0$ , zatem $a - b = 0$ , czyli $a = b$ .

Alternacja: Równanie $a^2 + 4a + 4 = b^2 + 4b + 4$ możemy zapisać jako $(a+2)^2 = (b+2)^2$ . Ponieważ $a, b > 0$ , to $a + 2 > 0$ i $b + 2 > 0$ , więc $a + 2 = b + 2$ , stąd $a = b$ . Zatem $a = 2b$ nie wynika wprost; sprawdzić treść zadania (może być błąd w przepisaniu).