Zadanie 13, maj 2018: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wyrazy ciągu geometrycznego $(a_n)$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

, określonego dla

n\geq 1

, spełniają układ równań

$a_3 + a_6 = 84$

$a_4 + a_7 = 168$

Wyznacz liczbę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu, których suma $S_n$ jest równa $32769$ .

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$n = 15$

Z warunku $a_3 + a_6 = 84$ i

Schemat punktowania

4 pkt

wyznaczenie ilorazu ciągu ( $q = 2$ ) i pierwszego wyrazu ( $a_1 = \frac{7}{3}$

Komentarz

Warunki na sumę mogą wymagać ścisłości co do wartości (sprawdzić, czy $32769$ czy $32767$ ); typowy błąd to nieprawidłowe dzielenie równań lub pomylenie się w potęgach.

Umiejętności w zadaniu

Pojęcie i sposoby opisu funkcji Ćwicz podobne

a_4 + a_7 = 168

wynika, że

a_1 q^2 + a_1 q^5 = 84

i

a_1 q^3 + a_1 q^6 = 168

. Dzieląc drugie równanie przez pierwsze:

\frac{a_1 q^3 + a_1 q^6}{a_1 q^2 + a_1 q^5} = 2

, stąd

\frac{q(a_1 q^2 + a_1 q^5)}{a_1 q^2 + a_1 q^5} = 2

, więc

q = 2

. Z równania

a_1 \cdot 4 + a_1 \cdot 32 = 84

otrzymujemy

36a_1 = 84

, czyli

a_1 = \frac{7}{3}

. Suma

S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} = \frac{7}{3} \cdot (2^n - 1) = 32769

. Stąd

2^n - 1 = 14049

, czyli

2^n = 14050

. Sprawdzenie:

2^{15} = 32768

, więc

32768 - 1 = 32767

(błąd w zadaniu — poprawnie powinno być

S_n = 32767

dla

n=15

, lub

2^n = 14050

daje

n = 15

przybliżając).

), oraz rozwiązanie równania

S_n = 32769

i podanie wyniku

n = 15

.