Matura z matematyki, maj 2018

MatematykaMaj 20181 pktzamkniętełatwe 72%

Zadanie 1

Dane są liczby: $a = \frac{\sqrt[4]{8}}{2}$, $b = \frac{1}{2\sqrt[4]{8}}$, $c = \sqrt[4]{8}$, $d = 2^{\sqrt[4]{8}}$ oraz $k = 2^{-1}$. Prawdziwa jest równość A. $a = k$ B. $b = k$ C. $c = k$ D. $d = k$

MatematykaMaj 20181 pktzamknięteśrednie 60%

Zadanie 2

Równanie $\sqrt{2 - x} = x + 2$ A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma dokładnie cztery rozwiązania.

MatematykaMaj 20181 pktzamkniętełatwe 76%

Zadanie 3

Wartość wyrażenia $2\log_5 10 - \log_5 20 - \frac{1}{\log_5 2}$ jest równa A. $-1$ B. $0$ C. $1$ D. $2$

MatematykaMaj 20181 pktzamknięteśrednie 43%

Zadanie 4

Granica $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 3}{x^2 - 5x + 6}$ jest równa A. $-\infty$ B. $-1$ C. $0$ D. $+\infty$

MatematykaMaj 20182 pktobliczeniowetrudne 18%

Zadanie 5

Punkt $A = (-5, 3)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji homograficznej określonej wzorem $f(x) = \frac{ax + 7}{x + d}$, gdy $x \ne -d$. Oblicz iloraz $\frac{a}{d}$. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku…

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20183 pktobliczenioweśrednie 42%

Zadanie 6

Styczna do paraboli o równaniu $y = 3x^2 - 1$ w punkcie $P = (x_0, y_0)$ jest nachylona do osi $Ox$ pod kątem $30°$. Oblicz współrzędne punktu $P$.

MatematykaMaj 20183 pktotwartetrudne 22%

Zadanie 7

Trójkąt $ABC$ jest ostrokątny oraz $BC > AC$. Dwusieczna $d_C$ kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $K$. Punkt $L$ jest obrazem punktu $K$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_A$ kąta $BAC$, punkt $M$ jest obrazem punktu $L$ w symetrii osiowej względem…

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20183 pktotwartetrudne 4%

Zadanie 8

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ i dla każdej liczby całkowitej $m$ liczba $k^3m - km^3$ jest podzielna przez $6$.

MatematykaMaj 20184 pktobliczeniowetrudne 23%

Zadanie 9

Z liczb ośmioelementowego zbioru $Z = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$ tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego…

MatematykaMaj 20184 pktobliczenioweśrednie 48%

Zadanie 10

Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru $V = \frac{\pi H}{3}(r^2 + rR + R^2)$, gdzie $r$ i $R$ są promieniami podstaw ($r < R$), a $H$ jest wysokością bryły. Dany jest stożec ścięty, którego wysokość jest równa $10$,…

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20184 pktobliczeniowetrudne 21%

Zadanie 11

Rozwiąż równanie $\sin 6x + \cos 3x = 2\sin 3x + 1$ w przedziale $\langle 0, \pi \rangle$.

MatematykaMaj 20186 pktobliczeniowetrudne 37%

Zadanie 12

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $(m + 1)x^2 + (m + 1)x + 1 - m = 0$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste $x_1$ i $x_2$ ($x_1 \ne x_2$), spełniające warunek $\frac{x_1^3 + x_2^3}{x_1 x_2} > -7$.

MatematykaMaj 20184 pktobliczenioweśrednie 51%

Zadanie 13

Wyrazy ciągu geometrycznego $(a_n)$, określonego dla $n\geq 1$, spełniają układ równań $a_3 + a_6 = 84$ $a_4 + a_7 = 168$ Wyznacz liczbę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu, których suma $S_n$ jest równa $32769$.

MatematykaMaj 20186 pktobliczeniowetrudne 7%

Zadanie 14

Punkt $A = (1, -7)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$. Obie współrzędne wierzchołka $C$ są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ ma równanie $x^2 + y^2 = 10$. Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego…

MatematykaMaj 20187 pktotwartetrudne 14%

Zadanie 15

a) Wyznacz wszystkie wartości $a$, dla których istnieje trapez o podanych własnościach. b) Wykaż, że obwód $L$ takiego trapezu, jako funkcja długości $a$ dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem $L(a) = \frac{8a - a^2}{4 - 8a}$. c) Oblicz tangens kąta…