Zadanie 14, maj 2018: matematyka rozszerzona

Polecenie

Punkt $A = (1, -7)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

ABC

, w którym

|AC| = |BC|

. Obie współrzędne wierzchołka

C

są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt

ABC

ma równanie

x^2 + y^2 = 10

. Oblicz współrzędne wierzchołków

B

i

C

tego trójkąta.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$B = (-5, 3)$ , $C = (-3, -1)$

Okrąg wpisany ma środek $O = (0, 0)$

Schemat punktowania

6 pkt

wyznaczenie środka i promienia okręgu wpisanego, zastosowanie warunku równoramienności ( $|AC| = |BC|$ ), wyznaczenie równań boków lub warunku styczności do okręgu, znalezienie współrzędnych $B$ i $C$ .

Komentarz

Zadanie wymaga znajomości warunku styczności prostej do okręgu i geometrii trójkąta równoramiennego. Typowy błąd: mylenie symetralnej z dwusieczną lub nieprawidłowe zastosowanie warunku styczności.

Umiejętności w zadaniu

Nierówności liniowe Ćwicz podobne

i promień

r = \sqrt{10}

. Z warunku

|AC| = |BC|

wynika, że

C

leży na symetralnej odcinka

AB

. Skoro trójkąt jest równoramienny i

A = (1, -7)

, to punkt

B

ma współrzędną

y = b

. Symetralna

AB

przechodzi przez punkt środkowy odcinka

AB

. Okrąg jest wpisany w trójkąt, więc jego środek leży w punkcie przecięcia symetralnych i dwusiecznych. Proste zawierające boki trójkąta są styczne do okręgu. Dla boku

AC

i

BC

istnieje warunek, że odległość od

O = (0,0)

do linii

AC

oraz do linii

BC

wynosi

\sqrt{10}

. Rozwiązując układ warunków: prosta

AB

(symetralnie względem

C

) oraz styczność do okręgu, otrzymujemy

B = (-5, 3)

i

C = (-3, -1)

.