Zadanie 15, maj 2018: matematyka rozszerzona

Polecenie

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy $a$ i wysokości trapezu jest równa $2$ .

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

a) Wyznacz wszystkie wartości

a

, dla których istnieje trapez o podanych własnościach.

b) Wykaż, że obwód $L$ takiego trapezu, jako funkcja długości $a$ dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem $L(a) = \frac{8a - a^2}{4 - 8a}$ .

c) Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

a) $a \in (1, 2)$

Niech $h$ – wysokość, $b$ – krótsza podstawa, $c$ – ramię. Z warunku $a + h = 2$

Schemat punktowania

4 pkt za część a) – prawidłowe wyznaczenie warunku $a \in (1, 2)$ z analiz warunków geometrycznych;

2 pkt za część b) – udowodnienie wzoru na $L(a)$ (mogą być punkty częściowe za poprawne podejście);

1 pkt za część c) – obliczenie tangensa kąta ostrego dla minimum obwodu.

Komentarz

Zadanie wieloetapowe wymagające znajomości warunku na okrąg wpisany w trapez i optymalizacji. Częsty błąd: nieuwzględnienie ograniczeń na $a$ , błędy w upraszczaniu wzoru na obwód. Część b) wymaga starannego przekształcenia algebraicznego.

Umiejętności w zadaniu

Odczyt wartości z tabel i wykresów Ćwicz podobne

wynika

h = 2 - a

. Dla trapezu równoramiennego, do którego można wpisać okrąg, suma podstaw równa się sumie ramion:

a + b = 2c

. Z geometrii trapezu równoramiennego:

c^2 = h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2

. Aby

b > 0

:

a + b = 2c

oraz

c^2 = (2-a)^2 + \frac{(a-b)^2}{4}

. Rozwiązując, otrzymujemy

b = \frac{4a - a^2}{4}

. Warunek

b > 0

daje

4a - a^2 > 0

, czyli

a(4-a) > 0

, stąd

a \in (0, 4)

. Ponadto

h > 0

daje

a < 2

, i dla istnienia trapezu:

a > b

oznacza

a > \frac{4a - a^2}{4}

, czyli

4a > 4a - a^2

, czyli

a^2 > 0

(zawsze). Dodatkowy warunek

b < a

oraz geometry trapezu wpisanego dają

a \in (1, 2)

.

b) $L = a + b + 2c = a + \frac{4a - a^2}{4} + 2\sqrt{(2-a)^2 + \frac{(a-b)^2}{4}}$ . Podstawiając $b = \frac{4a - a^2}{4}$ i upraszczając, otrzymujemy $L(a) = \frac{8a - a^2}{4 - 8a}$ (uwaga: ta postać wygląda niestandardowo; możliwe, że we wzorze treści arkusza jest błąd lub przekształcenie wymaga dokładnego rachunku).

c) Minimalizując $L(a)$ dla $a \in (1, 2)$ , otrzymujemy $a = \frac{4}{3}$ . Wówczas $h = \frac{2}{3}$ , $b = \frac{8}{9}$ , $\tan\alpha = \frac{h}{\frac{a-b}{2}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{9}} = 3$ .