Zadanie 10, maj 2018: matematyka rozszerzona

Polecenie

Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru $V = \frac{\pi H}{3}(r^2 + rR + R^2)$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

, gdzie

r

i

R

są promieniami podstaw (

r < R

), a

H

jest wysokością bryły. Dany jest stożec ścięty, którego wysokość jest równa

10

, objętość

840\pi

, a

r = 6

. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Ze wzoru na objętość: $840\pi = \frac{\pi \cdot 10}{3}(36 + 6R + R^2)$

Schemat punktowania

1 pkt

istotny postęp: zapisanie równania wynikającego ze wzoru na objętość.

2 pkt

pokonanie zasadniczych trudności: wyznaczenie promienia $R = 12$ .

3 pkt

wyznaczenie długości przekątnej przekroju osiowego.

4 pkt

pełne rozwiązanie: $\cos \alpha = \frac{3\sqrt{34}}{34}$

Komentarz

Kąt nachylenia przekątnej do podstawy to kąt między przekątną a rzutem tej przekątnej na podstawę, czyli kąt w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $H = 10$ i $R - r = 6$ .

Umiejętności w zadaniu

.

$252 = 36 + 6R + R^2$ , czyli $R^2 + 6R - 216 = 0$ .

$(R + 18)(R - 12) = 0$ , stąd $R = 12$ (bo $R > 0$ ).

Przekrój osiowy to trapez równoramienny o podstawach $2r = 12$ i $2R = 24$ oraz wysokości $H = 10$ .

Przekątna przekroju ma długość: $d = \sqrt{H^2 + (R-r)^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}$ .

Kąt nachylenia przekątnej do podstawy: $\cos \alpha = \frac{R - r}{d} = \frac{6}{2\sqrt{34}} = \frac{3}{\sqrt{34}} = \frac{3\sqrt{34}}{34}$ .

.