Zadanie 11, maj 2018: matematyka rozszerzona

Polecenie

Rozwiąż równanie $\sin 6x + \cos 3x = 2\sin 3x + 1$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

w przedziale

\langle 0, \pi \rangle

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Korzystając z $\sin 6x = 2\sin 3x \cos 3x$ :

$2\sin 3x \cos 3x + \cos 3x = 2\sin 3x + 1$

Schemat punktowania

1 pkt

istotny postęp: zastosowanie wzoru na $\sin 6x$ lub innego istotnego przekształcenia.

2 pkt

pokonanie zasadniczych trudności: rozłożenie równania na czynniki.

3 pkt

rozwiązanie obu równań iloczynowych i wybranie rozwiązań z przedziału.

4 pkt

pełne rozwiązanie.

Komentarz

Należy starannie wybierać rozwiązania z danego przedziału. Równanie przybiera postać $(2\sin 3x + 1)(\cos 3x - 1) = 0$ .

Umiejętności w zadaniu

.

$\cos 3x(2\sin 3x + 1) = 2\sin 3x + 1$ .

$\cos 3x(2\sin 3x + 1) - (2\sin 3x + 1) = 0$ .

$(2\sin 3x + 1)(\cos 3x - 1) = 0$ .

Stąd: $2\sin 3x + 1 = 0$ lub $\cos 3x - 1 = 0$ .

Z $\sin 3x = -\frac{1}{2}$ : $3x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$ lub $3x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi$ , czyli $x = \frac{7\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}$ lub $x = \frac{11\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}$ .

W przedziale $\langle 0, \pi \rangle$ : $x = \frac{7\pi}{18}, \frac{11\pi}{18}$ .

Z $\cos 3x = 1$ : $3x = 2k\pi$ , czyli $x = \frac{2k\pi}{3}$ .

W przedziale $\langle 0, \pi \rangle$ : $x = 0, \frac{2\pi}{3}$ .

Rozwiązania: $x \in \{0, \frac{7\pi}{18}, \frac{2\pi}{3}, \frac{11\pi}{18}\}$ .