Zadanie 12, maj 2021: matematyka rozszerzona

Polecenie

Rozwiąż równanie $\cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x)$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

w przedziale

\langle 0, \pi \rangle

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Przekształcenie: $\cos 2x = \cos(x + \frac{\pi}{4})$

Alternatywa: $\cos x - \sin x = 0$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisze alternatywę $\cos x - \sin x = 0$ lub $\cos x + \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Komentarz

Wzór redukcyjny: $\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x) = \cos(x + \frac{\pi}{4})$

Umiejętności w zadaniu

lub

\cos x + \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}

Z równania $\cos x - \sin x = 0$ : $x = \frac{\pi}{4}$ (w przedziale $\langle 0, \pi \rangle$ )

Z równania $\cos x + \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ : po przekształceniu $\cos(\frac{\pi}{4} - x) = \frac{1}{2}$

Serie rozwiązań: $\frac{\pi}{4} - x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ lub $\frac{\pi}{4} - x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$

Stąd: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi$ lub $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi$

W przedziale $\langle 0, \pi \rangle$ : $x = \frac{\pi}{4}$ lub $x = \frac{7\pi}{12}$

, lub zastosuje wzór na cosinus podwojonego argumentu i zapisze

\cos 2x = \cos(x + \frac{\pi}{4})

.

2 pkt

rozwiąże pierwsze z równań alternatywy lub przekształci drugie równanie do postaci $\cos(\frac{\pi}{4} - x) = \frac{1}{2}$ .

3 pkt

rozwiąże równanie $\cos x - \sin x = 0$ oraz spełni jeden z warunków drugiego równania.

4 pkt

poda obie serie rozwiązań równania $\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0$ lub rozwiąże drugie równanie w postaci alternatywy.

5 pkt

poda prawidłowe rozwiązania w przedziale $\langle 0, \pi \rangle$ : $x = \frac{\pi}{4}$ lub $x = \frac{7\pi}{12}$ .

. Równanie

\cos 2x = \cos(x + \frac{\pi}{4})

daje dwie serie rozwiązań. Alternatywnie można zastosować jedynkę trygonometryczną do równania

\cos x + \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}

.