Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

– $100$ zł za $1 \text{ m}^2$ dna

– $75$ zł za $1 \text{ m}^2$ ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Koszt wykonania: $K(a) = 100a^2 + 75 \cdot 4ah = 100a^2 + 300ah = 100a^2 + 300a \cdot \frac{144}{a^2} = 100a^2 + \frac{43200}{a}$.

Dziedzina: $0 < a \le 9$ oraz $0 < h \le 9$, czyli $0 < a \le 9$ i $\frac{144}{a^2} \le 9$, stąd $a \ge 4$.

Zatem $4 \le a \le 9$.

$K'(a) = 200a - \frac{43200}{a^2}$.

Warunek $K'(a) = 0$: $200a - \frac{43200}{a^2} = 0 \Rightarrow 200a^3 = 43200 \Rightarrow a^3 = 216 \Rightarrow a = 6$.

$K''(a) = 200 + \frac{86400}{a^3} > 0$ dla wszystkich $a > 0$, więc $a = 6$ to minimum.

Sprawndzenie: $a = 6 \in [4, 9]$, $h = \frac{144}{36} = 4$, $h = 4 \le 9$.

Odpowiedź: Wymiary zbiornika to $6 \text{ m} \times 6 \text{ m} \times 4 \text{ m}$ (dno $6 \text{ m} \times 6 \text{ m}$, wysokość $4 \text{ m}$).