Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

a) Wyznacz pole $P$ trójkąta $ABC$ jako funkcję zmiennej $m$.

b) Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których trójkąt $ABC$ jest ostrokątny.

Punkt $C$ ma współrzędne $(m, m^2)$. Pole trójkąta o wierzchołkach $A = (0, 2)$, $B = (1, 3)$, $C = (m, m^2)$ wyznaczamy ze wzoru:

$P = \frac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|

= \frac{1}{2}|0 \cdot (3 - m^2) + 1 \cdot (m^2 - 2) + m \cdot (2 - 3)|

= \frac{1}{2}|m^2 - 2 - m| = \frac{1}{2}|m^2 - m - 2|$

b) $m \in (-1, 2)$

Środek odcinka $AB$ to punkt $(\frac{1}{2}, \frac{5}{2})$. Trójkąt jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy punkt $C$ leży wewnątrz koła opisanego na trójkącie o średnicy równej każdemu z boków. Badamy warunki: kąt $CAB$ ostry, kąt $CBA$ ostry, kąt $ACB$ ostry.

$\overrightarrow{AC} = (m, m^2 - 2)$, $\overrightarrow{AB} = (1, 1)$. Kąt $CAB$ ostry: $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} > 0 \Rightarrow m + m^2 - 2 > 0 \Rightarrow (m - 1)(m + 2) > 0 \Rightarrow m < -2$ lub $m > 1$.

$\overrightarrow{BC} = (m - 1, m^2 - 3)$, $\overrightarrow{BA} = (-1, -1)$. Kąt $CBA$ ostry: $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} > 0 \Rightarrow -(m - 1) - (m^2 - 3) > 0 \Rightarrow -m + 1 - m^2 + 3 > 0 \Rightarrow m^2 + m - 4 < 0$.

$\overrightarrow{CA} = (-m, 2 - m^2)$, $\overrightarrow{CB} = (1 - m, 3 - m^2)$. Kąt $ACB$ ostry: $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} > 0 \Rightarrow -m(1 - m) + (2 - m^2)(3 - m^2) > 0 \Rightarrow -m + m^2 + 6 - 2m^2 - 3m^2 + m^4 > 0 \Rightarrow m^4 - 4m^2 - m + 6 > 0 \Rightarrow (m + 1)(m - 2)(m^2 - m - 3) > 0$.

Rozwiązując łącznie: $m \in (-1, 2)$.