Zadanie 11, maj 2021: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których trójmian kwadratowy

$4x^2 - 2(m + 1)x + m$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$ , spełniające warunki:

$x_1 \neq 0, \quad x_2 \neq 0 \quad \text{oraz} \quad x_1 + x_2 \leq \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Etap 1: $\Delta > 0 \Rightarrow m \neq 1$

Etap 2: Przekształcić nierówność do postaci $\frac{2(m+1)}{4} \leq \frac{2(m+1)}{4m}$

Schemat punktowania

1 pkt

rozwiąże nierówność $\Delta > 0$ : $m \neq 1$ .

2 pkt

zapisze nierówność $x_1 + x_2 \leq \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$

Komentarz

Warunek $x_1 \neq 0$ i $x_2 \neq 0$

Umiejętności w zadaniu

lub

\frac{1}{2} + \frac{m}{2} \leq 2 + \frac{2}{m}

Pierwiastkami są: $x_1 = \frac{1}{2}$ , $x_2 = \frac{m}{2}$

Rozwiązując drugą nierówność: $m \in (-\infty, -1] \cup (0, 4]$

Etap 3: Część wspólna warunków z etapu 1 i 2:

$m \in (-\infty, -1] \cup (0, 1) \cup (1, 4]$

lub wyznaczy pierwiastki

x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = \frac{m}{2}

i zapisze nierówność z parametrem

m

.

3 pkt

rozwiąże nierówność $\frac{2(m+1)}{4} \leq \frac{2(m+1)m}{4}$ : $m \in (-\infty, -1] \cup (0, 4]$ (uwzględniając $m \neq 0$ ).

4 pkt

wyznaczenie części wspólnej (poprzednie etapy).

5 pkt

poda ostateczną odpowiedź: $m \in (-\infty, -1] \cup (0, 1) \cup (1, 4]$ .

wymaga

m \neq 0

. Nierówność wymaga rozpatrzenia znaku iloczynu

x_1 \cdot x_2 = \frac{m}{4}

i sumy

x_1 + x_2 = \frac{m+1}{2}

. Trójmian rozkłada się:

4x^2 - 2(m+1)x + m = (2x-1)(2x-m)

.