Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Ciało niebieskie $\mathcal{N}$ krąży wokół gwiazdy macierzystej $\mathcal{G}$ po orbicie eliptycznej. Długość półosi wielkiej tej orbity eliptycznej jest równa $a = 6\,\text{au}$. Na rysunku poniżej przedstawiono położenia ciała, gdy przechodzi ono przez punkt $P$ (perycentrum orbity) oraz gdy przechodzi ono przez punkt $B$. Prędkość ciała w punkcie $P$ wynosi $\vec{v}_P$. Odległość punktu $P$ od środka gwiazdy jest równa $r_P$, natomiast odległość punktu $B$ od środka gwiazdy jest równa $r_B = 2r_P$. Długość boku kratki odpowiada umownej jednostce prędkości.

Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym:

• ciało $\mathcal{N}$ traktujemy jako punkt materialny

• przyjmujemy, że ciało $\mathcal{N}$ oddziałuje jedynie z gwiazdą $\mathcal{G}$

• przyjmujemy, że środek masy układu przypada w środku gwiazdy $\mathcal{G}$.

Zadanie 3.3. (0–3)

Masa gwiazdy $\mathcal{G}$ wynosi $M_{\mathcal{G}} = 2M_{\mathcal{S}}$, gdzie $M_{\mathcal{S}}$ jest masą Słońca.

Wstawiamy $v = \frac{2\pi a}{T_{\mathcal{C}}}$: $T_{\mathcal{C}} = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM_{\mathcal{G}}}}$

Analogicznie dla Ziemi: $T_{\mathcal{Z}} = 2\pi\sqrt{\frac{a_{\mathcal{Z}}^3}{GM_{\mathcal{S}}}}$

Stosunek okresów: $\frac{T_{\mathcal{C}}}{T_{\mathcal{Z}}} = \sqrt{\frac{a^3}{M_{\mathcal{G}}} \cdot \frac{M_{\mathcal{S}}}{a_{\mathcal{Z}}^3}} = \sqrt{\left(\frac{a}{a_{\mathcal{Z}}}\right)^3 \cdot \frac{M_{\mathcal{S}}}{M_{\mathcal{G}}}}$

Podstawiamy: $a = 6\,\text{au}$, $a_{\mathcal{Z}} = 1\,\text{au}$, $M_{\mathcal{G}} = 2M_{\mathcal{S}}$: $\frac{T_{\mathcal{C}}}{1\,\text{rok}} = \sqrt{6^3 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{108} \approx 10,4$

Wynik: $T_{\mathcal{N}} \approx 10,4\,\text{lat}$