Matematyka Maj 2026 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Kąt α \alpha α jest ostry i spełnia warunek 3 sin α + 4 cos α 4 cos α = 6 \frac{3\sin\alpha + 4\cos\alpha}{4\cos\alpha} = 6 4 c o s α 3 s i n α + 4 c o s α = 6 . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta α \alpha α jest równy A. 5 8 \frac{5}{8} 8 5 B. 8 3 \frac{8}{3} 3 8 C. 32 5 \frac{32}{5} 5 32 D. 20 3 \frac{20}{3} 3 20
Matematyka Czerwiec 2026 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Kąt o mierze α \alpha α jest rozwarty oraz sin α = 3 5 \sin \alpha= \frac{3}{5} sin α = 5 3 . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Cosinus kąta o mierze α \alpha α jest równy A. ( − 4 5 ) (-\frac{4}{5}) ( − 5 4 ) B. ( − 3 4 ) (-\frac{3}{4}) ( − 4 3 ) C. 3 4 \frac{3}{4} 4 3 D. 4 5 \frac{4}{5} 5 4
Matematyka Maj 2025 1 pkt zamknięte łatwe 70%
Kąt α \alpha α jest ostry i spełnia warunek 3 tg α = 2 sin α \sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha= 2 \sin \alpha 3 tg α = 2 sin α . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Cosinus kąta α \alpha α jest równy A. 1 2 \frac{1}{2} 2 1 B. 2 2 \frac{\sqrt{2}}{2} 2 2 C. 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 2 3 D.…
Matematyka Czerwiec 2025 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Liczba sin 3 25 ° + sin 25 ° ⋅ cos 2 25 ° cos 25 ° \frac{\sin^3 25° + \sin 25° \cdot \cos^2 25°}{\cos 25°} c o s 25° s i n 3 25° + s i n 25° ⋅ c o s 2 25° jest równa A. sin 25 ° \sin 25° sin 25° B. cos 25 ° \cos 25° cos 25° C. tg 25 ° \operatorname{tg} 25° tg 25° D. 1 1 1
Matematyka Maj 2024 2 pkt otwarte średnie 61%
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Prawdziwe są zależności: ............. oraz ............ . A. sin α < 0 \sin \alpha< 0 sin α < 0 B. sin α ⋅ cos α < 0 \sin \alpha\cdot\cos \alpha< 0 sin α ⋅ cos α < 0 C.…
Matematyka Maj 2024 1 pkt zamknięte średnie 60%
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba sin 3 20 ° + cos 2 20 ° ⋅ sin 20 ° \sin^3 20° + \cos^2 20° \cdot\sin 20° sin 3 20° + cos 2 20° ⋅ sin 20° jest równa A. cos 20 ° \cos 20° cos 20° B. sin 20 ° \sin 20° sin 20° C. tg 20 ° \operatorname{tg} 20° tg 20° D. sin 20 ° ⋅ cos 20 ° \sin 20° \cdot\cos 20° sin 20° ⋅ cos 20°
Matematyka Czerwiec 2024 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba 1 + cos 2 27 ° 1 + \cos^2 27° 1 + cos 2 27° jest równa A. 2 − sin 2 27 ° 2 - \sin^2 27° 2 − sin 2 27° B. sin 2 27 ° \sin^2 27° sin 2 27° C. 2 + sin 2 27 ° 2 + \sin^2 27° 2 + sin 2 27° D. 2
Matematyka Maj 2023 1 pkt zamknięte średnie 50%
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdego kąta ostrego α \alpha α wyrażenie sin 4 α + sin 2 α ⋅ cos 2 α \sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha sin 4 α + sin 2 α ⋅ cos 2 α jest równe A. sin 2 α \sin^2 \alpha sin 2 α B. sin 6 α ⋅ cos 2 α \sin^6 \alpha \cdot \cos^2 \alpha sin 6 α ⋅ cos 2 α C. sin 4 α + 1 \sin^4 \alpha + 1 sin 4 α + 1 D.…
Matematyka Czerwiec 2023 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdego kąta ostrego α \alpha α wyrażenie cos α − cos α ⋅ sin 2 α \cos \alpha - \cos \alpha \cdot \sin^2 \alpha cos α − cos α ⋅ sin 2 α jest równe A. cos 3 α \cos^3 \alpha cos 3 α B. sin 2 α \sin^2 \alpha sin 2 α C. 1 − sin 2 α 1 - \sin^2 \alpha 1 − sin 2 α D. cos α \cos \alpha cos α
Matematyka Specimen 2023 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Kąt α \alpha α jest ostry oraz 4 tg α = 3 sin 2 α + 3 cos 2 α 4\tg\alpha = 3\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha 4 tg α = 3 sin 2 α + 3 cos 2 α . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta α \alpha α jest równy A. 3 4 \frac{3}{4} 4 3 B. 4 3 \frac{4}{3} 3 4 C. 1 4 \frac{1}{4} 4 1 D. 4 4 4
Matematyka Maj 2022 1 pkt zamknięte łatwe 70%
Punkty A A A , B B B , C C C leżą na okręgu o środku S S S . Punkt D D D jest punktem przecięcia cięciwy A C AC A C i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu B B B . Miara kąta ∠ B S C \angle BSC ∠ B S C jest równa α \alpha α , a miara kąta ∠ A D B \angle ADB ∠ A D B jest równa γ \gamma γ (zobacz rysunek). Wtedy…
Matematyka Maj 2022 2 pkt obliczeniowe średnie 42%
Kąt α \alpha α jest ostry i tg α = 2 \text{tg} \alpha= 2 tg α = 2 . Oblicz wartość wyrażenia sin 2 α \sin^2 \alpha sin 2 α .
Matematyka Czerwiec 2022 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Kąt α \alpha α jest ostry i sin α = 2 3 \sin\alpha=\frac{2}{3} sin α = 3 2 . Wtedy cos 2 ( 90 ° − α ) \cos^2(90°-\alpha) cos 2 ( 90° − α ) jest równy A. 1 9 \frac{1}{9} 9 1 B. 2 9 \frac{2}{9} 9 2 C. 4 9 \frac{4}{9} 9 4 D. 5 9 \frac{5}{9} 9 5
Matematyka Maj 2021 1 pkt zamknięte łatwe 65%
Dla każdego kąta ostrego α \alpha α iloczyn cos α 1 − sin 2 α ⋅ 1 − cos 2 α sin α \frac{\cos \alpha}{1−\sin^2 \alpha} \cdot \frac{1−\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} 1 − s i n 2 α c o s α ⋅ s i n α 1 − c o s 2 α jest równy A. sin α \sin \alpha sin α B. tg α \operatorname{tg} \alpha tg α C. cos α \cos \alpha cos α D. sin 2 α \sin^2 \alpha sin 2 α
Matematyka Czerwiec 2021 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Kąt o mierze α \alpha α jest ostry i tg α = 5 \tg \alpha = \sqrt{5} tg α = 5 . Wtedy A. cos 2 α = 1 6 \cos^2 \alpha = \frac{1}{6} cos 2 α = 6 1 B. cos 2 α = 1 5 \cos^2 \alpha = \frac{1}{5} cos 2 α = 5 1 C. cos 2 α = 5 5 \cos^2 \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5} cos 2 α = 5 5 D. cos 2 α = 5 6 \cos^2 \alpha = \frac{5}{6} cos 2 α = 6 5
Matematyka Czerwiec 2020 2 pkt obliczeniowe trudne 39%
Kąt α \alpha α jest ostry i spełnia warunek 2 sin α + 3 cos α cos α = 4 \frac{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\cos\alpha} = 4 c o s α 2 s i n α + 3 c o s α = 4 . Oblicz tangens kąta α \alpha α .
Matematyka Dodatkowa 2020 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Prosta k k k jest nachylona do osi O x Ox O x pod kątem ostrym α \alpha α , takim, że cos α = 3 3 \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} cos α = 3 3 . Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej k k k .
Matematyka Maj 2019 1 pkt zamknięte łatwe 68%
Sinus kąta ostrego α \alpha α jest równy 4 5 \frac{4}{5} 5 4 . Wtedy A. cos α = 4 5 \cos \alpha = \frac{4}{5} cos α = 5 4 B. cos α = 1 5 \cos \alpha = \frac{1}{5} cos α = 5 1 C. cos α = 9 25 \cos \alpha = \frac{9}{25} cos α = 25 9 D. cos α = 3 5 \cos \alpha = \frac{3}{5} cos α = 5 3
Matematyka Czerwiec 2019 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Kąt α ∈ ( 0 ° , 180 ° ) \alpha \in (0°, 180°) α ∈ ( 0° , 180° ) oraz wiadomo, że sin α ⋅ cos α = − 3 8 \sin \alpha \cdot \cos \alpha = -\frac{3}{8} sin α ⋅ cos α = − 8 3 . Wartość wyrażenia ( cos α − sin α ) 2 (\cos \alpha - \sin \alpha)^2 ( cos α − sin α ) 2 jest równa A. 15 4 \frac{15}{4} 4 15 B. 9 4 \frac{9}{4} 4 9 C. 27 8 \frac{27}{8} 8 27 D. 21 8 \frac{21}{8} 8 21
Matematyka Czerwiec 2019 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Wartość wyrażenia 2 sin 2 18 ° + sin 2 72 ° + cos 2 18 ° 2\sin^2 18° + \sin^2 72° + \cos^2 18° 2 sin 2 18° + sin 2 72° + cos 2 18° jest równa A. 0 0 0 B. 1 1 1 C. 2 2 2 D. 4 4 4
Matematyka Czerwiec 2018 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Kąt α \alpha α jest ostry i sin α + cos α = 2 \sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2} sin α + cos α = 2 . Oblicz wartość wyrażenia 1 + tan α tan α \frac{1 + \tan\alpha}{\tan\alpha} t a n α 1 + t a n α .
Matematyka Maj 2017 2 pkt otwarte trudne 21%
Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P P P i R R R , styczne zewnętrznie w punkcie C C C . Prosta A B AB A B jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A A A i B B B oraz ∠ A P C = α \angle APC = \alpha ∠ A P C = α i ∠ A B C = β \angle ABC = \beta ∠ A B C = β (zobacz rysunek). Wykaż, że…
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Kąt α \alpha α jest ostry i tan α = 12 5 \tan\alpha=\frac{12}{5} tan α = 5 12 . Wówczas sin α \sin\alpha sin α jest równy A. 5 17 \frac{5}{17} 17 5 B. 12 17 \frac{12}{17} 17 12 C. 5 13 \frac{5}{13} 13 5 D. 12 13 \frac{12}{13} 13 12
Matematyka Czerwiec 2017 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Kąt α \alpha α jest ostry i spełniona jest równość sin α + cos α = 7 2 \sin\alpha + \cos\alpha = \frac{7}{2} sin α + cos α = 2 7 . Oblicz wartość wyrażenia ( sin α − cos α ) 2 (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 ( sin α − cos α ) 2 .
Matematyka Maj 2016 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Kąt α \alpha α jest ostry i tg α = 2 3 \operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{3} tg α = 3 2 . Wtedy A. sin α = 3 13 26 \sin\alpha = \frac{3\sqrt{13}}{26} sin α = 26 3 13 B. sin α = 13 13 \sin\alpha = \frac{\sqrt{13}}{13} sin α = 13 13 C. sin α = 2 13 13 \sin\alpha = \frac{2\sqrt{13}}{13} sin α = 13 2 13 D. sin α = 3 13 13 \sin\alpha = \frac{3\sqrt{13}}{13} sin α = 13 3 13
Matematyka Czerwiec 2016 2 pkt otwarte trudne (szac.)
Wykaż, że w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.
Matematyka Maj 2015 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Jeżeli 0 ° < α < 90 ° 0° < \alpha < 90° 0° < α < 90° oraz tan α = 2 sin α \tan \alpha = 2 \sin \alpha tan α = 2 sin α , to A. cos α = 1 2 \cos \alpha = \frac{1}{2} cos α = 2 1 B. cos α = 2 2 \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} cos α = 2 2 C. cos α = 3 2 \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} cos α = 2 3 D. cos α = 1 \cos \alpha = 1 cos α = 1
Matematyka Czerwiec 2015 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Wyrażenie 3 sin 3 α + cos 3 α 3 sin α + cos α \frac{3\sin^3\alpha+\cos^3\alpha}{3\sin\alpha+\cos\alpha} 3 s i n α + c o s α 3 s i n 3 α + c o s 3 α może być przekształcone do postaci A. 3 3 3 B. 3 sin α cos α 3\sin\alpha\cos\alpha 3 sin α cos α C. 3 sin 3 α cos 3 α \frac{3\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha} c o s 3 α 3 s i n 3 α D. 6 sin 4 α cos 4 α \frac{6\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha} c o s 4 α 6 s i n 4 α
Matematyka Specimen 2015 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Jeżeli kąt α \alpha α jest ostry i tg α = 3 4 \operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4} tg α = 4 3 , to cos 2 α − 2 cos α \cos^2\alpha-2\cos\alpha cos 2 α − 2 cos α równa się A. − 1 -1 − 1 B. 1 3 \frac{1}{3} 3 1 C. 3 7 \frac{3}{7} 7 3 D. 84 25 \frac{84}{25} 25 84