Zadanie 34, dodatkowa 2020: matematyka podstawowa

Polecenie

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym ABCDEFS, którego krawędź podstawy $a$ ma długość 8 (zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha = 60°$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Odcinek $PR$ jest wysokością trójkąta równobocznego o boku $a=8$ , zatem $PR = \frac{\sqrt{3}}{2}a = 4\sqrt{3}$

Schemat punktowania

1 pkt

prawidłowo zaznaczenie na rysunku kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy lub obliczenie długości odcinka $PR = 4\sqrt{3}$ .

2 pkt

obliczenie wysokości ściany bocznej $SR = 8/\sqrt{3}$

Komentarz

Jeśli uczeń rozważa graniastosłup lub błędnie interpretuje kąty w ostrosłupie, otrzymuje 0 punktów.

Umiejętności w zadaniu

.

Z trójkąta prostokątnego $SPR$ , w którym kąty mają miary $90°$ , $60°$ , $30°$ , obliczamy długość odcinka $SR$ : $\cos 60° = \frac{PR}{SR}$ , zatem $SR = 8/\sqrt{3}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $SRB$ (prostokątnego): $SB^2 = SR^2 + RB^2 = 64/3 + 16 = 208/3$ , zatem $SB = 4\sqrt{13}/\sqrt{3}$ .

Z trójkąta $SPB$ (prostokątnego): $\cos\beta = \frac{BP}{SB} = \frac{8}{4\sqrt{13}/\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$ .

lub wysokości ostrosłupa

SP = 12

.

3 pkt

obliczenie długości krawędzi bocznej $SB = 4\sqrt{13}/\sqrt{3}$ lub zapisanie stosunku dla tangensa kąta $\beta$ .

4 pkt

rozwiązanie pełne, ale z usterkami.

5 pkt

prawidłowe zaznaczenie kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy i obliczenie $\cos\beta = \frac{2\sqrt{13}}{13}$ .