Zadanie 9, maj 2024: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $a$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

. Punkt

E

jest środkiem boku

CD

. Przekątna

BD

dzieli trójkąt

ACE

na dwie figury:

AGF

oraz

CEFG

(zobacz rysunek).

Oblicz pola figur $AGF$ oraz $CEFG$ . Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$P_{AGF} = \frac{1}{12}a^2$ i $P_{CEFG} = \frac{1}{6}a^2$

Schemat punktowania

4 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $P_{AGF} = \frac{1}{12}a^2$

Komentarz

Jeżeli zdający popełnia błąd, przyjmując, że punkt $F$ dzieli odcinek w stosunku innym niż $2:1$ , otrzymuje 0 punktów. Jeżeli zdający przyjmuje poprawny stosunek bez uzasadnienia, może otrzymać co najwyżej 3 punkty.

Umiejętności w zadaniu

Twierdzenie Talesa Ćwicz podobne

Punkt $F$ jest środkiem ciężkości trójkąta $ACD$ , więc $|DF|:|FG| = 2:1$ , czyli $|FG| = \frac{1}{3}|DG|$ .

Trójkąty $AGF$ i $AGD$ mają wspólną wysokość $AG$ oraz pole trójkąta $AGD$ jest równe $\frac{1}{4}a^2$ , więc $P_{AGF} = \frac{1}{3} \cdot P_{AGD} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}a^2 = \frac{1}{12}a^2$ .

Zatem $P_{CEFG} = P_{ACE} - P_{AGF} = \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{12}a^2 = \frac{1}{6}a^2$ .

i

P_{CEFG} = \frac{1}{6}a^2

.

3 pkt

obliczenie pola trójkąta $AGF$ : $P_{AGF} = \frac{1}{12}a^2$ albo obliczenie pola czworokąta $CEFG$ : $P_{CEFG} = \frac{1}{6}a^2$ .

2 pkt

obliczenie długości jednego z odcinków lub zapisanie związku między polami trójkątów albo zapisanie układu równań albo obliczenie współrzędnych punktów $E$ i $F$ albo narysowanie kwadratu na siatce kwadratowej.