Zadanie 11, maj 2024: matematyka rozszerzona

Polecenie

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ środek $S$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

okręgu o promieniu

\sqrt{5}

leży na prostej o równaniu

y = x + 1

. Przez punkt

A = (1, 2)

, którego odległość od punktu

S

jest większa od

\sqrt{5}

, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio –

B

i

C

. Pole czworokąta

ABSC

jest równe

15

.

Oblicz współrzędne punktu $S$ . Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$S = (2, 3)$ lub $S = (-4, -3)$

Niech $S = (a, a+1)$

Schemat punktowania

5 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyznaczenie obu rozwiązań.

4 pkt

prawidłowe opracowanie warunku na pole czworokąta i poprawne wyznaczenie jednego rozwiązania.

3 pkt

prawidłowe zastosowanie warunku na pole i otrzymanie równania na współrzędne punktu $S$ .

2 pkt

zapisanie równania wynikającego z warunku na pole czworokąta lub wykorzystanie warunku $|AS| > \sqrt{5}$

Komentarz

Należy rozważyć oba przypadki i sprawdzić warunek $|AS| > \sqrt{5}$ dla każdego z nich. Rozwiązania to $S = (2, 3)$

Umiejętności w zadaniu

. Ponieważ styczne z punktu

A

do okręgu są prostopadłe do promieni w punktach styczności, czworokąt

ABSC

składa się z dwóch trójkątów prostokątnych:

ABS

i

ACS

z kątami prostymi w

B

i

C

.

Pole czworokąta $ABSC = \frac{1}{2}|AB| \cdot |SB| + \frac{1}{2}|AC| \cdot |SC| = \frac{1}{2}|AB| \cdot \sqrt{5} + \frac{1}{2}|AC| \cdot \sqrt{5}$ .

Z warunku $|AB| = |AC|$ (styczne z punktu do okręgu) i twierdzenia Pitagorasa: $|AS|^2 = |AB|^2 + 5$ .

Pole czworokąta $ABSC = \frac{1}{2} \cdot 2|AB| \cdot \sqrt{5} = |AB| \cdot \sqrt{5} = 15$ , stąd $|AB| = 3\sqrt{5}$ .

Zatem $|AS|^2 = 45 + 5 = 50$ , czyli $|AS| = 5\sqrt{2}$ .

$(1-a)^2 + (2-a-1)^2 = 50$ , czyli $(1-a)^2 + (1-a)^2 = 50$ , więc $2(1-a)^2 = 50$ , stąd $(1-a)^2 = 25$ .

$1 - a = 5$ lub $1 - a = -5$ , czyli $a = -4$ lub $a = 6$ . Ale dla $a = 6$ : $|AS| = 5\sqrt{2}$ i $r = \sqrt{5}$ , zatem $|AS| > r$ . Sprawdzenie warunku dla $a = -4$ : $S = (-4, -3)$ spełnia warunek. Dla $a = 6$ : $S = (6, 7)$ .

.

1 pkt

zapisanie, że $S$ leży na prostej $y = x + 1$ i wykorzystanie warunku dotyczącego stycznych.

lub

S = (-4, -3)

.