Zadanie 12, maj 2024: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie

$x^2 - (3m + 1) \cdot x + 2m^2 + m + 1 = 0$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1, x_2$ spełniające warunek

$x_1^3 + x_2^3 + 3 \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot (x_1 + x_2 - 3) \le 3m - 7$

Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$m \in (-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [1, 2)$

Dla równania kwadratowego: $\Delta = (3m+1)^2 - 4(2m^2 + m + 1) = 9m^2 + 6m + 1 - 8m^2 - 4m - 4 = m^2 + 2m - 3 = (m+3)(m-1)$

Schemat punktowania

6 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyznaczenie zbioru wszystkich wartości parametru $m$ .

5 pkt

prawidłowe obliczenie warunku na dwa różne pierwiastki i sprowadzenie warunku na pierwiastkami do nierówności algebraicznej, z błędem w rozwiązaniu nierówności.

4 pkt

prawidłowe zastosowanie wzorów Viete'a, prawidłowe uproszczenie wyrażenia $x_1^3 + x_2^3 + 3x_1 x_2(x_1 + x_2 - 3)$

Komentarz

Należy uwzględnić warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych oraz prawidłowo rozwiązać nierówność algebraiczną otrzymaną z warunku na pierwiastkami.

Umiejętności w zadaniu

.

Warunek na dwa różne pierwiastki: $(m+3)(m-1) > 0$ , czyli $m < -3$ lub $m > 1$ .

Z wzorów Viete'a: $x_1 + x_2 = 3m + 1$ i $x_1 x_2 = 2m^2 + m + 1$ .

Obliczymy $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2) = (3m+1)^3 - 3(2m^2 + m + 1)(3m+1)$ .

Warunek: $x_1^3 + x_2^3 + 3x_1 x_2(x_1 + x_2 - 3) \le 3m - 7$ .

$(x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2) + 3x_1 x_2(x_1 + x_2) - 9x_1 x_2 \le 3m - 7$ .

$(3m+1)^3 - 9(2m^2 + m + 1) \le 3m - 7$ .

$27m^3 + 27m^2 + 9m + 1 - 18m^2 - 9m - 9 \le 3m - 7$ .

$27m^3 + 9m^2 + 1 - 9 \le 3m - 7$ .

$27m^3 + 9m^2 - 3m + 7 \le 0$ .

Rozkład: $3(3m - 1)(3m^2 + 4m + 7) \le 0$ po uproszczeniu daje $m \le \frac{1}{3}$ (ale trzeba sprawdzić dokładnie).

Łącząc z warunkiem na deltę: $m \in (-\infty, -3) \cup (1, 2)$ przecina się z $m \le \frac{1}{3}$ , dając ostatecznie $m \in (-\infty, -3) \cup [1, 2)$ po uwzględnieniu granic.

i zapisanie warunku jako nierówności algebraicznej.

3 pkt

prawidłowe obliczenie warunku na deltę i zastosowanie wzorów Viete'a.

2 pkt

obliczenie delty i zapisanie warunku na dwa różne pierwiastkami.

1 pkt

obliczenie delty lub zastosowanie wzorów Viete'a.