Zadanie 13.2, maj 2024: matematyka rozszerzona

Polecenie

Pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

$P(a) = \frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{2} + \frac{13824\sqrt{3}}{a}$

dla $a\in(0, 8\sqrt{3}]$ .

Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Wyznaczenie pochodnej: $P'(a) = a\sqrt{3} - \frac{13824\sqrt{3}}{a^2}$

Schemat punktowania

4 pkt

uzasadnienie, że funkcja $P$ przyjmuje wartość najmniejszą dla $a = 8\sqrt{3}$ i obliczenie wartości najmniejszej funkcji $P$

Komentarz

Jeżeli zdający otrzyma miejsce zerowe pochodnej należące do przedziału $(0, 8\sqrt{3})$ , może otrzymać co najwyżej 1 punkt. Badanie znaku pochodnej może być opisane graficznie, np. poprzez szkic wykresu z zaznaczeniem znaków.

Umiejętności w zadaniu

.

Rozwiązanie równania $P'(a) = 0$ : $a\sqrt{3} - \frac{13824\sqrt{3}}{a^2} = 0 \Rightarrow a^3\sqrt{3} - 13824\sqrt{3} = 0 \Rightarrow a^3 = 13824 \Rightarrow a = 24 \notin (0, 8\sqrt{3}]$ .

Badanie znaku pochodnej: $P'(a) < 0$ dla $a \in (0, 8\sqrt{3}]$ (bo $a^3 < 13824$ dla takich $a$ ).

Funkcja $P$ jest malejąca w przedziale $(0, 8\sqrt{3}]$ , więc przyjmuje wartość najmniejszą dla $a = 8\sqrt{3}$ .

Obliczenie wartości najmniejszej: $P(8\sqrt{3}) = \frac{(8\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{2} + \frac{13824\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = 96\sqrt{3} + 1728$ .

:

96\sqrt{3} + 1728

.

3 pkt

uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja $P$ przyjmuje wartość najmniejszą dla $a = 8\sqrt{3}$ ALBO zapisanie, że dla $a = 8\sqrt{3}$ funkcja $P$ osiąga wartość najmniejszą i obliczenie $P(8\sqrt{3})$ : $P(8\sqrt{3}) = 96\sqrt{3} + 1728$ .

2 pkt

poprawne rozwiązanie równania $a\sqrt{3} - \frac{13824\sqrt{3}}{a^2} = 0$ : $a = 24$ .

1 pkt

wyznaczenie pochodnej funkcji $P$ : $P'(a) = a\sqrt{3} - \frac{13824\sqrt{3}}{a^2}$ .