Zadanie 10, maj 2024: matematyka rozszerzona

Polecenie

Rozwiąż równanie

$\sin(4x) - \sin(2x) = 4\cos^2 x - 3$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

w zbiorze $[0, 2\pi]$ . Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{5\pi}{4}, \frac{11\pi}{6}$

Schemat punktowania

5 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.

4 pkt

zapisanie alternatywy równań $\sin(2x) - 1 = 0$ lub $2\cos(2x) - 1 = 0$

Komentarz

Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przed uzyskaniem równań elementarnych i otrzyma równania elementarne mające rozwiązania, może otrzymać co najwyżej 4 punkty. Jeżeli dzieli obie strony przez wyrażenie zawierające niewiadomą bez rozważenia przypadku zerowania się, może otrzymać co najwyżej 3 punkty.

Umiejętności w zadaniu

Równania trygonometryczne Ćwicz podobne

Stosujemy wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie równoważnie: $\sin(4x) - \sin(2x) = 4\cos^2 x - 3$ , czyli $2\sin(2x)\cos(2x) - \sin(2x) = 2\cos(2x) - 1$ .

Stąd $\sin(2x)[2\cos(2x) - 1] = 2\cos(2x) - 1$ , czyli $[\sin(2x) - 1][2\cos(2x) - 1] = 0$ .

Rozwiązujemy $\sin(2x) = 1$ : $2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ , czyli $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ . W zbiorze $[0, 2\pi]$ : $\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ .

Rozwiązujemy $\cos(2x) = \frac{1}{2}$ : $2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ lub $2x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ , czyli $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$ lub $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$ . W zbiorze $[0, 2\pi]$ : $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ .

oraz rozwiązanie jednego z równań w zbiorze

[0, 2\pi]

(lub obydwu w zbiorze

\mathbb{R}

).

3 pkt

przekształcenie równania do postaci alternatywy dwóch lub trzech równań trygonometrycznych.

2 pkt

przekształcenie równania do postaci iloczynowej lub równoważnej.

1 pkt

zastosowanie wzoru na sinus lub cosinus podwojonego kąta.