Zadanie 7, maj 2024: matematyka rozszerzona

Polecenie

Trzywyrazowy ciąg $(x, y, z)$ jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa $105$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

. Liczby

x

,

y

oraz

z

są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego

(a_n)

, określonego dla każdej liczby naturalnej

n \ge 1

.

Oblicz $\mathbf{x}$ , $\mathbf{y}$ oraz $\mathbf{z}$ . Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$x = 5$ , $y = 15$ , $z = 45$

Z warunku, że ciąg jest geometryczny: $y^2 = xz$

Schemat punktowania

4 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawne obliczenie wszystkich trzech wartości: $x = 5$ , $y = 20$ , $z = 80$ .

3 pkt

Umiejętności w zadaniu

, a suma wynosi

105

:

x + y + z = 105

.

Z warunku arytmetycznego: $a_1 = x = 5$ , $a_2 = y = 15$ , $a_6 = z = 45$ . Różnica arytmetyczna: $d = a_2 - a_1 = 15 - 5 = 10$ . Sprawdzenie: $a_6 = a_1 + 5d = 5 + 50 = 55$ . Nie, ponieważ powyższe to przykład – wymagane obliczenie z warunków zadania.

Niech $a_1 = x$ . Wtedy $a_2 = x + d = y$ i $a_6 = x + 5d = z$ . Z warunku geometryczności: $y^2 = xz$ i $x + y + z = 105$ . Stąd: $(x + d)^2 = x(x + 5d)$ , czyli $d^2 = 3xd$ . Z warunków ciągu rosnącego oraz $d \neq 0$ otrzymujemy $d = 3x$ . Zatem $y = 4x$ i $z = 16x$ . Z sumy: $x + 4x + 16x = 105$ , stąd $x = 5$ , $y = 20$ , $z = 80$ .

Weryfikacja: ciąg $(5, 20, 80)$ jest geometryczny (q = 4), suma = 105. $a_1 = 5$ , $a_2 = 5 + d = 20$ , czyli $d = 15$ . $a_6 = 5 + 5 \cdot 15 = 80$ . ✓

zastosowanie poprawnej metody i poprawne obliczenie dwóch wartości spośród

x

,

y

,

z

.

2 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawne obliczenie jednej wartości spośród $x$ , $y$ , $z$ ALBO ułożenie poprawnych warunków wynikających z założeń (geometryczność ciągu, suma, związek z ciągiem arytmetycznym) bez ich rozwiązania.

1 pkt

zapisanie warunku geometryczności ciągu lub warunku sumy ALBO zapisanie związku między wyrazami a ciągiem arytmetycznym.

0 pkt

rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.