Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Na wykresie oznaczono wybrane punkty: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$. Ruch kropli opisujemy w układzie odniesienia związanym z ziemią i zakładamy, że jest to układ inercjalny.

Do analizy zagadnienia przyjmij uproszczony model zjawiska, w którym:

• podczas opadania kropli działają na nią dwie siły: siła oporu powietrza $\vec{F}_o$ oraz siła grawitacji $\vec{F}_g$ (pomijamy siłę wyporu aerostatycznego)

• kropla jest kulą o promieniu $R$, a jej masa się nie zmienia

• wartość siły oporu działającej na kroplę wyraża się wzorem: $F_o = k\rho_p S v^2$, gdzie $k$ jest pewnym współczynnikiem, $\rho_p$ jest gęstością powietrza, $S$ jest polem przekroju poprzecznego przez środek kropli, $v$ jest wartością prędkości kropli

• ruch kropli od chwili $t_D$ traktujemy jako jednostajny prostoliniowy, czyli przyjmij, że część $DF$ wykresu jest poziomym odcinkiem.

Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć $v_E$ – wartość prędkości, z jaką kropla opada w powietrzu ruchem jednostajnym prostoliniowym – w zależności od: promienia kropli $R$, gęstości powietrza $\rho_p$, gęstości wody $\rho_w$, wartości przyśpieszenia ziemskiego $g$ oraz współczynnika $k$.

Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać tego wzoru.

Wskazówka: Objętość kuli o promieniu $R$ wyraża się wzorem $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Krok 1: Z I zasady dynamiki dla ruchu jednostajnego: $F_o = F_g$

Krok 2: Podstawienie wzorów na siły: $k\rho_p S v_E^2 = mg$

Krok 3: Wyrażenie masy: $m = V_{kropli}\rho_w = \frac{4}{3}\pi R^3\rho_w$

Krok 4: Pole przekroju: $S = \pi R^2$

Krok 5: Podstawienie do warunku równowagi sił: $k\rho_p\pi R^2 v_E^2 = \frac{4}{3}\pi R^3\rho_w g$

Krok 6: Uproszczenie i rozwiązanie względem $v_E$: $v_E = \sqrt{\frac{4\rho_w R g}{3k\rho_p}}$