Zadanie 25, maj 2025: matematyka podstawowa

Polecenie

Tworząca stożka ma długość $8$ . Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $120°$ .

Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$V = 64\pi$

Wskazanie: Wprowadzić oznaczenia dla przekroju osiowego stożka (wierzchołek $S$ , spodek wysokości $O$ , promień podstawy $r$ , wysokość $H$

Schemat punktowania

3 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $V= 64\pi$ .

2 pkt

zapisanie promienia podstawy stożka: $r= 4\sqrt{3}$

Komentarz

Jeżeli zdający przyjmuje, że trójkąt $SOB$ jest równoboczny, wysokość stożka równa 8 lub promień podstawy równy 8, otrzymuje 0 pkt. Jeżeli jedynym błędem jest zastosowanie niepoprawnej definicji funkcji trygonometrycznej, twierdzenia Pitagorasa lub cosinusów, tożsamości $\sqrt{x^2 + y^2} = x+ y$

Umiejętności w zadaniu

). Zauważyć, że kąt między tworzącymi wynosi

120°

, więc kąt między tworzącą a wysokością wynosi

60°

.

Krok 1: Wyznaczenie promienia podstawy i wysokości

$\sin 60° = \frac{r}{8}$ , stąd $r = 4\sqrt{3}$

$\cos 60° = \frac{H}{8}$ , stąd $H = 4$

Albo wykorzystując twierdzenie cosinusów: $4r^2 = 128 - 128 \cdot (-\frac{1}{2}) = 192$ , czyli $r^2 = 48$ , i twierdzenie Pitagorasa: $H^2 = 64 - 48 = 16$ , czyli $H = 4$ .

Krok 2: Obliczenie objętości

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 48 \cdot 4 = 64\pi$

oraz zapisanie wysokości stożka:

H= 4

, ALBO obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka:

r^2 = 48

oraz zapisanie wysokości stożka:

H= 4

, ALBO zapisanie wysokości stożka:

H= 4

oraz wyznaczenie objętości stożka w zależności od

H

, ALBO zapisanie promienia podstawy stożka:

r= 4\sqrt{3}

oraz wyznaczenie objętości stożka w zależności od

r

, ALBO wyznaczenie objętości stożka w zależności od tworzącej

l

.

1 pkt

zapisanie promienia podstawy stożka: $r= 4\sqrt{3}$ , ALBO zapisanie wysokości stożka: $H= 4$ , ALBO obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka: $r^2 = 48$ , ALBO zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć $r$ oraz $H$ , ALBO wyznaczenie objętości stożka w zależności od $H$ lub $r$ .

, lub własności trójkąta 30-60-90, ale rozwiązanie jest konsekwentne, można przyznać 1 pkt za obliczenie objętości. Więcej niż jeden błąd – 0 pkt.