Zadanie 31, maj 2025: matematyka podstawowa

Polecenie

Rozważamy wszystkie prostopadłościany $ABCDEFGH$ , w których krawędź $BC$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

ma długość

4

oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka

B

jest równa

15

(zobacz rysunek).

Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB$ .

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P$ . Oblicz długość $x$ krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$P(x) = -2x^2 + 22x + 88$ , $D = (0, 11)$

Schemat punktowania

4 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: $P(x) = -2x^2 + 22x + 88$ , $D = (0, 11)$

Komentarz

Parabola ma ramiona skierowane w dół, więc wierzchołek daje maksimum. Dziedzina musi być przedziałem otwartym, gdyż długości krawędzi muszą być dodatnie. Można również rozwiązać za pomocą pochodnej, wtedy wymaga się uzasadnienia, że miejsce zerowe pochodnej to maksimum.

Umiejętności w zadaniu

,

x = \frac{11}{2}

Z warunku sum długości krawędzi wychodzących z $B$ : $|AB| + |BC| + |BF| = 15$

Zatem: $x + 4 + |BF| = 15$ , czyli $|BF| = 11 - x$

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:

$P = 2(|AB| \cdot |BC| + |AB| \cdot |BF| + |BC| \cdot |BF|)$

$P = 2(x \cdot 4 + x \cdot (11-x) + 4 \cdot (11-x))$

$P = 2(4x + 11x - x^2 + 44 - 4x)$

$P(x) = -2x^2 + 22x + 88$

Dziedzina: $x > 0$ i $11 - x > 0$ , więc $D = (0, 11)$

Wierzchołek paraboli: $p = \frac{-22}{2 \cdot (-2)} = \frac{11}{2}$

Ponieważ $\frac{11}{2} \in (0, 11)$ , funkcja przyjmuje maksimum dla $x = \frac{11}{2}$

,

x = \frac{11}{2}

.

3 pkt

wyznaczenie poprawnego wzoru i dziedziny funkcji, albo wyznaczenie wzoru i prawidłowe obliczenie argumentu maksimum.

2 pkt

wyznaczenie poprawnego wzoru funkcji (bez dziedziny), albo zapisanie zależności między krawędziami i wyznaczenie zakresu zmienności $x$ .

1 pkt

zapisanie zależności $x + 4 + |BF| = 15$ , albo zapisanie wzoru na pole z parametrami, albo wyznaczenie zakresu $x \in (0, 11)$ .