Zadanie 13, specimen 2015: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których prosta o równaniu $y = mx + m - 2m - 3$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie

S(0, 0)

i promieniu

r = 3

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Prosta ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem, gdy odległość od środka okręgu do prostej jest mniejsza od promienia. Prosta: $mx - y + m - 2m - 3 = 0$ czyli $mx - y - m - 3 = 0$

Schemat punktowania

3 pkt

prawidłowo wyznaczone wartości parametru.

2 pkt

poprawna metoda, ale błąd obliczeniowy.

1 pkt

częściowe podejście.

Komentarz

Zadanie wymaga wyznaczenia warunku na odległość prostej od środka okręgu.

Umiejętności w zadaniu

. Odległość:

d = \frac{|m \cdot 0 - 0 - m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|m + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} < 3

. Warunek:

(m + 3)^2 < 9(m^2 + 1)

, stąd

m^2 + 6m + 9 < 9m^2 + 9

, czyli

8m^2 - 6m > 0

, więc

m(4m - 3) > 0

. Rozwiązanie:

m < 0

lub

m > \frac{3}{4}

.