Niech $x$ będzie długością boku wyciętych kwadratów.

Podstawa pudełka ma wymiary $(80-2x) \times (50-2x)$.

Wysokość pudełka to $x$.

Objętość: $V(x) = (80-2x)(50-2x)x = 4x^3 - 260x^2 + 4000x$

Dziedzina: $0 < x < 25$.

Pochodna: $V'(x) = 12x^2 - 520x + 4000 = 4(3x^2 - 130x + 1000)$

Miejsca zerowe: $\Delta = 16900 - 12000 = 4900$.

$x_1 = \frac{130 - 70}{6} = 10$

$x_2 = \frac{130 + 70}{6} \approx 33,33$ (poza dziedziną)

Badanie monotoniczności:

$V'(x) > 0$ dla $x < 10$

$V'(x) < 0$ dla $x > 10$

Funkcja $V$ rośnie na $(0, 10]$ i maleje na $[10, 25)$, więc maksimum w $x = 10$.

Maksymalna objętość: $V(10) = (80-20)(50-20) \cdot 10 = 60 \cdot 30 \cdot 10 = 18000$

1.a) 1 pkt – oznaczenie długości boku naroża, zapisanie wymiarów podstawy $(80-2x)$ i $(50-2x)$.

1.b) 1 pkt – zdefiniowanie funkcji objętości $V = (80-2x)(50-2x)x$