Matura z matematyki, arkusz pokazowy CKE 2015

MatematykaSpecimen 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 1

Dane są dwie urny z kulami, w każdej jest 5 kul. W pierwszej urnie jest jedna kula biała i 4 kule czarne. W drugiej urnie są 3 kule białe i 2 kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Jeśli wypadnie jedno lub dwa oczka, to losujemy…

MatematykaSpecimen 20151 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 2

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $\left(a_n\right)$ określony wzorem $a_n = \frac{3}{\sqrt{2}^n}$ dla $n = 1,2,3,...$. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa A. $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ B. $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$ C. $\frac{2}{\sqrt{2}-1}$ D.…

MatematykaSpecimen 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 3

Liczba $27^{665} \cdot \sqrt[3]{3} - 92 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{152/3}$ jest równa A. $3^{725}$ B. $3^{1995}$ C. $3^{2015}$ D. $3^{2045}$

MatematykaSpecimen 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 4

Okrąg $o_1$ ma równanie $x^2 + (y-1)^2 = 25$, a okrąg $o_2$ ma równanie $(x-1)^2 + y^2 = 9$. Określ wzajemne położenie tych okręgów. A. Te okręgi przecinają się w dwóch punktach. B. Te okręgi są styczne. C. Te okręgi nie mają punktów wspólnych oraz okrąg $o_1$…

MatematykaSpecimen 20151 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 5

Suma $\sin \alpha + \sin 3\alpha$ jest dla każdego $\alpha$ równa A. $\sin 4\alpha$ B. $2\sin 4\alpha$ C. $2\sin 2\alpha \cos \alpha$ D. $2\sin \alpha \cos 2\alpha$

MatematykaSpecimen 20152 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 6

Liczba $n$ jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą równanie $2 \cdot |x + 57| = |x - 39|$. Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby $n$.

MatematykaSpecimen 20152 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7

Oblicz granicę ciągu $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n^2 - 5n + 2}{(8n + 7)(n + 4)}$. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonej granicy.

MatematykaSpecimen 20152 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x) = \frac{x - 8}{x^2 + 6}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie $x = \frac{1}{2}$. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

MatematykaSpecimen 20152 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 9

Oblicz $\log_3 \sqrt[4]{27} - \log_3 \left(\log_3 \sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}\right)$. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

MatematykaSpecimen 20153 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 10

Punkty $P_1, P_2, P_3, \ldots, P_{23}, P_{24}$ dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt $A$ jest punktem przecięcia cięciw $P_{11}P_{22}$ i $P_1P_{16}$. Udowodnij, że $|\angle P_{16}AP_{11}| = 60°$.

• Materiał graficzny

MatematykaSpecimen 20153 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 11

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby rzeczywistej $m$ prawdziwa jest nierówność $x^2 + mx + 20 \geq \frac{24}{x^2 + 4m - 12x - 5}$.

MatematykaSpecimen 20153 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12

Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe $P(A|B)$.

MatematykaSpecimen 20153 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 13

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których prosta o równaniu $y = mx + m - 2m - 3$ ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie $S(0, 0)$ i promieniu $r = 3$.

MatematykaSpecimen 20153 pktobliczeniowełatwe (szac.)

Zadanie 14

Dana jest parabola o równaniu $y = x^2$ i leżący na niej punkt $A$ o współrzędnej $x$ równej $3$. Wyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie $A$.

MatematykaSpecimen 20153 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 15

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

• Materiał graficzny

MatematykaSpecimen 20156 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 16

Pole trójkąta $ABC$ jest równe 660. Oblicz pola trójkątów: $AMS$, $ALS$, $BMS$ i $CLS$.

• Materiał graficzny

MatematykaSpecimen 20156 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 17

Oblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4.

MatematykaSpecimen 20157 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 18

Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długość boku każdego z wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę maksymalną…

• Materiał graficzny