Zadania maturalne z matematyki rozszerzonej

MatematykaDodatkowa 20203 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 6

Pierwszy wyraz ciągu $(a_n)$, określonego dla $n \geq 1$, jest równy $2$. Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_{n+1} = 3 \cdot a_n + n^2$. Oblicz sumę $a_1 + a_2 + a_3$.

MatematykaDodatkowa 20203 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 7

Dany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty $A$, $B$, $C$ i $D$. Wykaż, że jeżeli $\angle ACB = \angle ADB$, to $\angle BAC = \angle BDC$.

MatematykaDodatkowa 20203 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 8

Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej $n$ wyrażenie $n^5 - n^3 - n + 3$ jest podzielne przez $16$.

MatematykaDodatkowa 20204 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 9

Rozwiąż równanie $4\sin^3 x + \sin 2x = 2\sin x \cdot (2\cos^2 x + 1)$.

MatematykaDodatkowa 20204 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 10

Dla pewnych liczb rzeczywistych $a > 1$, $b > 1$ i $N > 1$ jest spełniona równość $\log_a N \cdot \log_b N = \frac{20}{3} \left( \log_a N + \log_{ab} N \right)$. Wyznacz wszystkie wartości wyrażenia $\log_a b$.

MatematykaDodatkowa 20205 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których nierówność $(m^2+4m-5) \cdot 2^{x^2+2x} > 2^{2m-1}$ jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$.

MatematykaDodatkowa 20206 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12

Punkt $A=(-2,6)$ jest wierzchołkiem rombu $ABCD$ o polu równym $82{,}5$. Przekątna $BD$ tego rombu zawiera się w prostej $l$ o równaniu $2x-y-5=0$. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

MatematykaDodatkowa 20203 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 13

Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że w zapisie dziesiętnym iloczyn wszystkich cyfr każdej z tych liczb jest równy $28$.

MatematykaDodatkowa 20206 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 14

Oblicz cosinus kąta ostrego tego rombu.

• Materiał graficzny

MatematykaDodatkowa 20207 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej jest równa $d$. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozpatrywanych ostrosłupów, który ma największą objętość.…