Zadania maturalne z matematyki rozszerzonej

MatematykaMaj 20153 pktotwartetrudne 22%

Zadanie 8

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $x^4 - x^2 - 2x + 3 > 0$.

MatematykaMaj 20153 pktotwarteśrednie 41%

Zadanie 9

Dwusieczne czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: $P$, $Q$, $R$, $S$ (zobacz rysunek). Wykaż, że na czworokącie $PQRS$ można opisać okrąg.

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20154 pktobliczeniowetrudne 37%

Zadanie 10

Długości boków czworokąta $ABCD$ są równe: $|AB| = 2$, $|BC| = 3$, $|CD| = 4$, $|DA| = 5$. Na czworokącie $ABCD$ opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej $AC$ tego czworokąta.

MatematykaMaj 20154 pktobliczenioweśrednie 58%

Zadanie 11

W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co…

MatematykaMaj 20154 pktobliczenioweśrednie 52%

Zadanie 12

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=x^3-2x^2+1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji $f$, które są równoległe do prostej o równaniu $y=x+4$.

MatematykaMaj 20155 pktobliczeniowetrudne 23%

Zadanie 13

Dany jest trójmian kwadratowy $f(x)=(m+1)x^2+(2m-1)x+(m+4)$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których trójmian $f$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1, x_2$, spełniające warunek $x_1^2-x_2^2=4x_1-4x_2$.

MatematykaMaj 20155 pktobliczeniowetrudne 24%

Zadanie 14

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SD$ jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi $ABS$ i $CBS$ tego ostrosłupa.

MatematykaMaj 20156 pktobliczeniowetrudne 19%

Zadanie 15

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu $W(x)=x^3+ax^2+bx+c$ jest równa $0$. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej $3$. Oblicz współczynniki $a$, $b$ i $c$. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

MatematykaMaj 20157 pktobliczeniowetrudne 35%

Zadanie 16

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie $20$. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 1

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_{n+1} = a_n + 6 - 1$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $a_1 = -3$. Wyraz $a_2$ jest równy A. $-3$ B. $-2$ C. $2$ D. $3$