Matematyka AA IB HL — maj 2025, TZ3, Paper 1 (zadania wzorowane)

For r > 0, consider the right-hand curve 4x² + y⁶ = r⁶, with 0 ≤ x ≤ r³/2. The region between this curve and the vertical axis is rotated through a full turn about that axis. Find its volume in the form aπr^b, with positive rational a, b.

Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8a

Express z₁ as re^iθ, with r > 0 and −π < θ ≤ π.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8b

Find all three cube roots of z₂/z₁.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 9

Evaluate $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x\sin(3x)}{1-\cos(2x)}$ .

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 10a

Assume the sequence is arithmetic. (i) Find k. (ii) Hence or otherwise, find u₃.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 10b

Now set k = −6. (i) Prove that the three terms form the start of a geometric sequence. (ii) Explain why the corresponding infinite geometric series has no finite sum.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane7 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 10c

The already-investigated geometric case is k = −6. A second value of k also makes the sequence geometric. (i) Show that k² + 7k + 6 = 0. (ii) Find the first three terms for the second value. (iii) State the sum S_2m of its first 2m terms.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11a

Find D.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11b

Find E.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11c

(i) Given $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=m(1,-2,1)$ with m > 0, find m. (ii) Hence calculate the parallelogram’s area.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11d

Find a Cartesian equation of P₁.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11e

Plane P₂ is 2x + y + z = 4. Prove that the acute angle θ between P₁ and P₂ satisfies $\cos\theta=1/6$ .

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11f

A line through E perpendicular to P₁ meets P₂ : 2x + y + z = 4 at F. Find F.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12a

Prove that points on this locus satisfy x² + y² + 2x − 4y − 20 = 0.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane7 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12b

For real p, suppose $\arg\left(\frac{z+p}{z-2}\right)=-\pi/4$ , where the quotient is defined and nonzero. Show that x² + y² + (p − 2)x − (p + 2)y − 2p = 0.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane7 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12c

Two distinct roots z₁, z₂ of a monic quartic z⁴ + az³ + bz² + cz + d = 0 with real coefficients satisfy the circle condition and $\operatorname{Re}\left(\frac{z+4}{z-2}\right)=-\operatorname{Im}\left(\frac{z+4}{z-2}\right)$ . Use (a) and (b) to find these roots.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12d

The monic quartic is z⁴ + az³ + bz² + cz + d = 0, with real coefficients. Two distinct roots z₁, z₂ satisfy the circle condition and $\operatorname{Re}\left(\frac{z+4}{z-2}\right)=-\operatorname{Im}\left(\frac{z+4}{z-2}\right)$ . Find the coefficient a of this…