Zadania maturalne z matematyki rozszerzonej

MatematykaCzerwiec 20213 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 6

Niech $\log_2 9 = c$. Wykaż, że $\log_3 54 = \frac{3c+2}{c}$.

MatematykaCzerwiec 20213 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 7

Dany jest trójkąt $ABC$. Na boku $AB$ tego trójkąta obrano punkty $D$, $E$ i $F$ tak, że $|AD|=|DE|=|EF|=2|FB|$. Na bokach $AC$ i $BC$ obrano – odpowiednio – punkty $G$ i $H$ tak, że $DG\parallel EC$ oraz $FH\parallel EC$ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli…

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20214 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 8

Rozwiąż równanie $2\cos^2 x - \cos x = \sin(2x) - \sin x$ w przedziale $\langle 0, 2\pi\rangle$.

MatematykaCzerwiec 20214 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9

Dane są prosta $k$ o równaniu $x-2y=0$ i prosta $l$ o równaniu $2x+y-1=0$. Punkt $P$ leży na prostej o równaniu $y=x+4$. Odległość punktu $P$ od prostej $k$ jest dwa razy większa niż odległość punktu $P$ od prostej $l$. Oblicz współrzędne punktu $P$.

MatematykaCzerwiec 20214 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 10

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $2$. Punkt $S$ jest środkiem krawędzi $DH$ (zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta $CFS$.

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20214 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11

W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów. W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego (liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia…

MatematykaCzerwiec 20215 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $(x-3)(x^2 + (m-1)x - 6m^2 + 2m) = 0$ ma dokładnie dwa rozwiązania.

MatematykaCzerwiec 20215 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 13

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x) = x^3 + \frac{k}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq 0$. Oblicz wartość $k$, dla której prosta o równaniu $y = -x$ jest styczna do wykresu funkcji $f$.

MatematykaCzerwiec 20215 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 14

Oblicz długość boku $BC$ tego czworokąta.

MatematykaCzerwiec 20217 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne $ABC$ o przeciwprostokątnej $AB$ i obwodzie równym $4$. Niech $x = |AC|$. a) Wykaż, że pole $P$ trójkąta $ABC$ jako funkcja zmiennej $x$ jest określone wzorem $P(x) = \frac{x(4 - 2x)}{4 - x}$ b) Wyznacz dziedzinę…