Zadanie 5.4, maj 2023: fizyka rozszerzona

Informacja do zadań 5.3.–5.4.

Załóżmy, że ciało $\mathcal{C}_1$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

krąży po orbicie

\mathcal{O}_1

wokół centrum grawitacyjnego o masie

M_1

, a ciało

\mathcal{C}_2

krąży po orbicie

\mathcal{O}_2

wokół centrum grawitacyjnego o masie

M_2

. Zakładamy, że na każde z tych ciał działa jedynie siła pochodząca od centrum grawitacyjnego, dookoła którego dane ciało krąży. Stosunek mas

M_1

i

M_2

można obliczyć ze wzoru:

$ $\frac{M_1}{M_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3 \cdot \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$ $

gdzie: $T_1$ i $T_2$ są okresami obiegu ciał po orbitach – odpowiednio – $\mathcal{O}_1$ i $\mathcal{O}_2$ , natomiast $a_1$ i $a_2$ zależą od rodzaju orbity:

• gdy orbity $\mathcal{O}_1$ i $\mathcal{O}_2$ są kołowe, to $a_1$ i $a_2$ są odpowiednio promieniami tych orbit

• gdy orbita $\mathcal{O}_1$ jest eliptyczna, a orbita $\mathcal{O}_2$ jest kołowa, to $a_1$ jest długością półosi wielkiej orbity $\mathcal{O}_1$ , natomiast $a_2$ jest promieniem orbity $\mathcal{O}_2$ .

Polecenie

Wyprowadź wzór podany w informacji do zadań 5.3.–5.4. w przypadku, gdy orbity $\mathcal{O}_1$ i $\mathcal{O}_2$ są kołowe.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Równanie dla ciała $\mathcal{C}_1$ na orbicie $\mathcal{O}_1$ : siła grawitacji = siła dośrodkowa

$ $\frac{m_1 v_1^2}{a_1} = \frac{Gm_1M_1}{a_1^2}$

Schemat punktowania

3 pkt

poprawna metoda wyprowadzenia wzoru na iloraz mas centrów grawitacyjnych, poprawne przekształcenia oraz poprawna postać ilorazu – zgodna z podaną w treści zadania.

2 pkt

poprawna metoda wyprowadzenia lub bezpośrednie zapisanie (np. na mocy III prawa Keplera z wyrażeniem zawierającym stałe) jednego poprawnego wyrażenia, z którego można bezpośrednio obliczyć masę centrum grawitacyjnego jedynie na podstawie odpowiednich stałych, promienia $a$ orbity kołowej i okresu $T$ obiegu ciała dookoła tego centrum, np. zapisy równoważne poniższym: $(m_i \frac{v_i^2}{a_i} = \frac{Gm_i M_i}{a_i^2}$

Umiejętności w zadaniu

$

Podstawienie $v_1 = \frac{2\pi a_1}{T_1}$ i podzielenie przez $m_1$ :

$ $\frac{(2\pi a_1 / T_1)^2}{a_1} = \frac{GM_1}{a_1^2}$ $

$ $\frac{4\pi^2 a_1}{T_1^2} = \frac{GM_1}{a_1^2}$ $

$ $M_1 = \frac{4\pi^2}{G} \cdot \frac{a_1^3}{T_1^2}$ $

Analogicznie dla $\mathcal{C}_2$ :

$ $M_2 = \frac{4\pi^2}{G} \cdot \frac{a_2^3}{T_2^2}$ $

Iloraz mas:

$ $\frac{M_1}{M_2} = \frac{a_1^3 / T_1^2}{a_2^3 / T_2^2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3 \cdot \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$ $

oraz

v_i = \frac{2\pi a_i}{T_i})

→ [przekształcenia] →

M_i = \frac{4\pi^2}{G} \frac{a_i^3}{T_i^2}

albo zapisanie lub stwierdzenie, z powołaniem się na III prawo Keplera, że zachodzą następujące proporcje o tym samym współczynniku proporcjonalności:

\frac{a_1^3}{T_1^2} \propto

const

\cdot M_1

oraz

\frac{a_2^3}{T_2^2} \propto

const

\cdot M_2

.

1 pkt

zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji działającą na ciało $\mathcal{C}_1$ (lub $\mathcal{C}_2$ ) jako siłę dośrodkową (lub relacji identyfikującej przyśpieszenie dośrodkowe jako przyśpieszenie grawitacyjne) oraz uwzględnienie wzorów na te siły (lub przyśpieszenia), np. zapisy równoważne poniższym: $m_1 \frac{v_1^2}{a_1} = \frac{Gm_1 M_1}{a_1^2}$ albo $m_1 \omega_1^2 a_1 = \frac{Gm_1 M_1}{a_1^2}$ albo $\omega_1^2 a_1 = \frac{GM_1}{a_1^2}$ albo skorzystanie ze wzoru na prędkość orbitalną ciała $\mathcal{C}_1$ (lub $\mathcal{C}_2$ ) oraz zastosowanie wzoru na prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu dla tej orbity, np. zapisy równoważne poniższym: $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{a_1}}$ oraz $v_1 = \frac{2\pi a_1}{T_1}$ albo zapisanie lub stwierdzenie, z powołaniem się na III prawo Keplera, że zachodzi proporcja: $\frac{a^3}{T^2} \propto M$ .