Definite integrals and regions

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2026, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 3b

Find the area bounded by y=f(x), the axes and x=3π.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2026, TZ1wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 5b

Find the area of R.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2026, TZ3wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 8c

The positive intersection x-coordinates are a<b. Find the area enclosed by the curves between a and b.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2026, TZ2wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 9d

P is the inflection point of the pulse curve. Let R be the region enclosed by the curve and the horizontal line through P. Find its area.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2026, TZ2wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 9e

P is the inflection point of the pulse curve. R is the region enclosed by this curve and the horizontal line through P. The area under the pulse from x=0 to x=k is twice the area of R, with 0≤k≤π/3. Find k.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 4

A region is bounded above by y = 1 + e^2x, below by y = 1 − 2e^2x, and by the vertical lines x = 0 and x = ln 2. Find its exact area.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2025, TZ1wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 4

At the beginning of 2021, a sealed reservoir holds 420000 litres. Its modelled rate of water loss is described by $\frac{dV}{dt}=-8000e^{-0.035t}$ litres per year, where t is years after the beginning of 2021. Find the volume predicted for the beginning of…

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2025, TZ3wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7f

Let A = (1/2, 4). The normal to the curve at A meets it again at B with x_B > 1.3. The region comprises all areas between this normal and the curve from x_A to x_B. Find the total shaded area between the curve and the normal line from A to B.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ2wzorowane7 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 9d

A separate function is h(x) = 9x²/(3x + 2), x ≠ −2/3. Region R is bounded by its curve, the line y = 1, and x = 1, x = 2. (i) Establish $h(x)=3x-2+\frac4{3x+2}$. (ii) Hence or otherwise, calculate the area of R in the form p + qln r, with positive…

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2025, TZ3wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 9d

The cart modelled by u finishes first. How far is the other cart from its endpoint at that instant?

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2025, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 4b

Find the area of the enclosed region.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2025, TZ3wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8d

Take k=6. Find the area enclosed by the graph of f, its normal at x=−4, and the y-axis, on the interval −4≤x≤0.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2024, TZ2wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 2b

Find the area enclosed by the graphs.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2024, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 5b

Find the exact area of R.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024, TZ1wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7c

Show that the area enclosed by the graphs is $\int_0^5(-x^2+5x)\,dx$.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7d

Hence evaluate the enclosed area, using $\int_0^5(-x^2+5x)\,dx$.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024, TZ2wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7c

Show that the area enclosed by the graphs is $\int_0^3(-x^2+3x)\,dx$.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024, TZ2wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7d

Hence evaluate the enclosed area, using $\int_0^3(-x^2+3x)\,dx$.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 6c

Find the distance travelled between t₁ and t₂.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 7c

Find the enclosed area. Use h⁻¹(x) = (x² + 7)/6, with intersections at $x=3-\sqrt2$ and $x=3+\sqrt2$.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9c

Determine whether overflow occurs before the first flush. Justify your answer.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2023, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9c

Find the two possible expressions for g.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2023, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9c

Find the two possible expressions for g.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 2b

Hence evaluate $\int_4^{16}(4\sqrt x-3)/\sqrt x\,dx$.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2022, TZ1wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 5c

Find its total distance travelled over the given interval.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2022, TZ1wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8c

The graphs of f and its inverse intersect at x=p and x=q, where p<q. (i) Find p,q. (ii) Hence find the area enclosed by the two curves.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ2wzorowane10 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8b

A region lies above the x-axis, below g from A to B, and below f from B to the vertical line x=k, where k is an integer greater than 6. A circular hole of radius 1 centred at (5,1) is removed from the region; this disk lies entirely inside it. On integrating,…

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane9 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 9b

You may use $1+3\cos2x+3\cos^2(2x)+\cos^3(2x)=8\cos^6x$. (i) Show that $\int_0^m f(x)\,dx=\frac{48}{7}(1-\cos^7m)$ for m>0. (ii) If $\int_m^{\pi/2}f(x)\,dx=3/56$ and 0≤m≤π/2, find m.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2022wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 3c

Find the total area between the graph and the x-axis from x=0 to x=2.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2022wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7e

Let b<c be the two zeros of s″ on the given interval. Find the distance travelled between b and c.