Matematyka AA IB HL — maj 2022, TZ1, Paper 1 (zadania wzorowane)

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 1

Evaluate $\int_4^{16}(4\sqrt{x}-3)/\sqrt{x}\,dx$.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 2a

Using the 1.5×IQR rule, find the largest c reading that would not be classified as an upper outlier.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 2b

(i) Predict c when a=44. (ii) Find the mean of the a readings.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 3a

Find (f∘g)(x).

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 3b

Solve $(f\circ g)(x)=2\sin2x$ for 0≤x≤π.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 4

The curve y = (3x + 2)e^kx has a tangent at x=1 parallel to the straight line y = (7e^k)x. Find the rational constant k.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 5a

Describe two transformations taking the graph of f to the graph of g.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 5b

If g(x)≥5 for every real x, find the smallest possible r.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 6

For a positive integer n, consider (5x² − 2/x³)ⁿ. Determine every n for which the expansion contains a nonzero constant term.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 7a

Find k.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 7b

Find E(X).

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 8

Integers a,b satisfy that a² + 3b² is divisible by 8. Prove by contradiction that a,b cannot both be odd.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9a

Express z₁z₂ in Cartesian form.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9b

Hence find b when $\arg(z_1z_2)=-\pi/3$.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10a

Suppose it is geometric. (i) Show that $p=\pm1/\sqrt2$. (ii) Show that both choices give a convergent series. (iii) For p>0 and infinite sum $4+2\sqrt2$, find x.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane12 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10b

Now suppose the series is arithmetic with common difference d. (i) Show that p=3/4. (ii) Write d as a rational multiple of ln x. (iii) If the sum of its first n terms is $\ln(1/(x^4\sqrt x))$, find n.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11a

Show that no point lies on all three planes.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11b

(i) Verify that P lies on both Π₁ and Π₂. (ii) Find a vector equation of their line of intersection L.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11c

Let L be the line of intersection of Π₁ and Π₂. Find the distance between L and Π₃.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12a

Find the Maclaurin expansion of f up to the x³ term.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12b

Hence approximate $\int_0^{1/2}e^{2x^2}\sin(x^2)\,dx$ using terms up to degree 3 in the Maclaurin expansion of f. For standalone use, f(u) = u + 2u² + 11u³/6 + ⋯.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12c

(i) Show that g′′ = 4g′ − 5g. (ii) Hence deduce g⁽⁴⁾ = 4g⁽³⁾ − 5g′′.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12d

Using g′′ = 4g′ − 5g and its differentiated recurrences, find the Maclaurin expansion of g through x⁴.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12e

Hence or otherwise evaluate $\lim_{x\to0}[e^{2x}\cos x-1-2x-3x^2/2]/x^3$.